Die unstandardisierte Regressionsgleichung lautet
\(\hat{y} = a + b \cdot x\)
Um den erwarteten Kriteriumswert \(\hat{y}\) für einen beliebigen Prädiktorwert x vorhersagen zu können, müssen wir also die Regressionskoeffizienten a und b bestimmen:

• Berechnung der Steigung b:
  \(\begin{aligned} b &= r \cdot \frac {s_y} {s_x} \\ &= 0{.}80 \cdot \frac {15} {0{.}1} \\ &= 120\\ \end{aligned}\)

• Berechnung des Achsenabschnittsparameters a:
  \(\begin{aligned} a &= \bar{y} - b \cdot \bar {x} \\ &= 73 - 120 \cdot 1{.}7 \\ &= -131\\ \end{aligned}\)

Die Regressionsgleichung, die wir in a) aufgestellt haben, erlaubt es uns, den erwarteten Kriteriumswert \(\hat{y}\) eines beliebigen Prädiktorwerts x vorherzusagen. Wir müssen also nur den interessierenden Kriteriumswert in die Gleichung einfügen:

\(\begin{aligned} \hat{y} &= -131 + 120 \cdot x \\ &= -131 + 120 \cdot 1{.}78 \\ &= \underline{\underline {82{.}6}}\\ \end{aligned}\)

Bei einer Person, die eine Körpergröße von \(x = 1.78\) aufweist, ist mit einem Körpergewicht von 82.6 kg zu rechnen.

Zu dieser Frage gibt es unterschiedliche Lösungsansätze:

1. Zunächst können wir zwei beliebige x Werte in die Regressionsgleichung einsetzen, die sich um 10 cm unterscheiden. Exemplarisch verwenden wir \(x_1 = 1{.78}\) und \(x_2 = 1{.}88\):
   \(\hat{y_1}= -131 + 120 \cdot x = -131 + 120 \cdot 1{.}78 = 82{.}6\)
   \(\hat{y_2}= -131 + 120 \cdot x = -131 + 120 \cdot 1{.}88 = 94{.}6\)
   Wenn wir die Differenz der beiden erwarteten Kriteriumswerte berechnen, erhalten wir den Wert, mit dem sich zwei Personen in ihrem Gewicht voraussichtlich unterscheiden, die einen Größenunterschied von 10 cm aufweisen:
   \(|\hat{y_1} - \hat{y_2}| = |82{.}6 - 94{.}6| = \underline{\underline{12}}\)

2. Lösungsweg: Wir wissen, dass die Steigung b die erwartete Änderung des Kriteriums y angibt, wenn sich der Prädiktor x um eine Einheit erhöht.
   Da die Steigung in unserem Beispiel \(b = 120\) beträgt, wissen wir, dass der Gewichtsunterschied von zwei Personen, die sich in ihrer Körpergröße um 1 Meter unterscheiden, voraussichtlich 120 kg beträgt.
   Nun suchen wir aber den Gewichtsunterschied von zwei Personen, die sich nicht um einen ganzen Meter sondern nur um 10 cm, also 0.1 Meter unterscheiden.
   Weil es sich hierbei um \(\frac {1} {10}\) eines Meters handelt, teilen wir den Gewichtsunterschied bei einem Größenunterschied von 1 m (die Steigung) durch 10, um unser Ergebnis zu erhalten:
   \(120 \div 10 = \underline{\underline {12}}\)

Beide Lösungswege sind gültig. Wir kommen in beiden Fällen zu der Lösung, dass sich zwei Personen um voraussichtlich 12 kg in ihrem Gewicht unterscheiden, wenn sie einen Größenunterschied von 10 cm aufweisen.

Das unstandardisierte Regressionsgewicht b entspricht der voraussichtlichen Differenz zweier Personen im Kriterium y, die sich hinsichtlich des Prädiktors x um eine Einheit unterscheiden.
In dieser Aufgabe beträgt die unstandardisierte Steigung -3. Unterscheiden sich zwei Personen in ihrem Neurotizismuswert um eine Einheit, so unterscheiden sich ihre (im Rahmen des linearen Modells) vorhergesagten Werte bzgl. der Arbeitsleistung um -3 Einheiten.

Der unstandardisierte Achsenabschnittsparameter a entspricht dem erwarteten Kriteriumswert \(\hat{y}\) an der Stelle \(x=0\).
Da a hier 350 beträgt, bedeutet dies, dass eine Person mit einem Neurotizismuswert von 0 voraussichtlich einen Wert von 350 in ihrer Arbeitsleistung aufweist.

Standardisierung von b zu B (dem Beta Gewicht):
\(\begin{aligned} B &= b \cdot \frac {s_x} {s_y} \\ &= -3 \cdot \frac {2{.}75} {17.8} \\ &\approx - 0{.}463\\ \end{aligned}\)

Durch die Standardisierung ist die Steigung B nun unabhängig von den Messeinheiten.
Wir können 2 Interpretationen von ihr ableiten:

1. Sie gibt nun die erwartete Differenz zwischen zwei Personen im z-stanardisierten Kriterium an, die sich in ihren Prädiktorwerten um 1 Standardabweichung unterscheiden.
   In unserem Fall bedeutet dies: Wenn der sich zwei Personen in ihren Neurotizismuswerten um 1 Standardabweichung (SD) unterscheiden, beträgt die Differenz ihrer Arbeitsleistungen rund 0.463 Standardabweichungen.

2. Zudem entspricht in der einfachen linearen Regression das Beta Gewicht der Korrelation zwischen Prädiktor und Kriterium:
   \(B = r_{xy}\)
   (Bei multiplen linearen Regressionen, die im späteren Verlauf des Semesters besprochen werden, gilt dies nicht.)

A ist in der Regression z-standardisierter Variablen immer 0.

Dies lässt sich folgendermaßen erklären:
Die Formel zur Berechnung des unstandardisierten y-Achsenabschnitts a lautet:
\(a = \bar{y} - b \cdot \bar {x}\)

Standardisieren wir diese Formel ergibt sich:
\(A = \bar{z_y} - B \cdot \bar {z_x}\)