\[H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3\] Die \(H_0\) einer ANOVA mit Messwiederholung gleicht im Prinzip der \(H_0\) einer einfaktoriellen ANOVA.
Wir nehmen in unserer Nullhypothese an, dass die Mittelwerte der unterschiedlichen Populationen identisch sind und dass etwaige Mittelwertunterschiede in den Stichproben nur zufällig zustande kamen.

\[H_1: \mu_i \neq \mu_i\] Wenn sich mindestens zwei der Populationsmittelwerte voneinander unterscheiden, verwerfen wir die \(H_0\) und gehen davon aus, dass die deskriptiven Mittelwertunterschiede tatsächliche Unterschiede zwischen den Faktorstufen auf Populationsebene wiederspiegeln.

Erklärung der Rechenwege:

1. Berechnung der Quadratsummen:

Insgesamt teilt sich unsere Varianz wie folgt auf: Berechnung von \(QS_A\):

\(\begin{aligned} QS_A &= n \cdot \sum_{i=1}^p (\bar{A_i} - \bar{G})^2 \\ &= 3 \cdot [(20 - 26)^2 + (26-26)^2 + (32-26)^2] \\ &= 3 \cdot [ (-6)^2 + 0 + 6^2] \\ &= 3 \cdot 72 \\ &= \underline{\underline{216}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(QS_{zw}\):

\(\begin{aligned} QS_{zw} &= p \cdot \sum_{m=1}^n (\bar{P_m} - \bar{G})^2 \\ &= 3 \cdot [(22-26)^2 + (26-26)^2 + (30-26)^2] \\ &= 3 \cdot [ (-4)^2 + 0 + 4^2] \\ &= 3 \cdot 32 \\ &= \underline{\underline{96}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(QS_e\)
Hier gibt es zwei gültige Rechenwege:

\(\underline{Weg 1}\): Anwendung der Formel für \(QS_e\)

\(\begin{aligned} QS_{e} &= \sum_{i=1}^p \sum_{m=1}^n (y_{im}- \bar{A}_i - \bar{P}_m + \bar{G})^2 \\ &= 2^2 + 4^2 + 2^2 + 4^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 4^2 \\ &= \underline{\underline{72}} \end{aligned}\)

\(\underline{Weg 2:}\) Ausgehend von der Varianzzerlegung kann die Fehlerquadratsumme auch spezifiziert werden als \(QS_{tot} - QS_A - QS_P\)
Somit müssen wir zuerst \(QS_{tot}\) berechnen:

\(\begin{aligned} QS_{tot} &= \sum_{i=1}^p \sum_{m=1}^n (y_{im} - \bar{G})^2 \\ &= 8^2 + 8^2 + 4^2 + 10^2 + 2^2 + 8^2 + 6^2 + 6^2 \\ &= 384 \end{aligned}\)

Nun können wir \(QS_e\) berechnen:

\(\begin{aligned} QS_{e} &= QS_{tot} - QS_A - QS_P \\ &= 384 - 96 - 216\\ &= \underline{\underline{72}} \end{aligned}\)

2. Berechnung der Freiheitsgrade:

\(\begin{aligned} df_{A} &= p-1 \\ &= 3-1\\ &= \underline{\underline{2}} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} df_{zw} &= n-1 \\ &= 3-1\\ &= \underline{\underline{2}} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} df_{e} &= (n-1) \cdot (p-1) \\ &= 2 \cdot 2\\ &= \underline{\underline{4}} \end{aligned}\)

3. Berechnung der Mittleren Quadrate:

\(\begin{aligned} MQ_{A} &= \frac {QS_A} {df_A} \\ &= \frac {216} {2}\\ &= \underline{\underline{108}} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} MQ_{zw} &= \frac {QS_{zw}} {df_A} \\ &= \frac {96} {2}\\ &= \underline{\underline{48}} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} MQ_{e} &= \frac {QS_e} {df_e} \\ &= \frac {72} {4}\\ &= \underline{\underline{18}} \end{aligned}\)

4. Berechnung der empirischen Prüfgröße

\(\begin{aligned} F_{A} &= \frac {MQ_A} {MQ_e} \\ &= \frac {108} {18}\\ &= \underline{\underline{6}} \end{aligned}\)

5. kritischer F-Wert

\(\begin{aligned} F_{krit} &= F_{df_A; df_e; 1-\alpha} \\ &= F_{2; 4; 95 \%}\\ &= \underline{\underline{6{.}94}} \end{aligned}\)

Testentscheidung

Würde man den Versuch mit einer einfaktoriellen ANOVA ohne Messwiederholungen durchführen, würde man die entsprechende Formel zur Berechnung der Fehlerquadratsumme anwenden:

\(QS_e = \sum_i \sum_m (y_{im}- \bar{A_{i}})^2\)

Im Falle einer einfaktoriellen ANOVA würden wir nicht die Varianz erfassen, die unabhängig von Faktor A auf die Unterschiede zwischen Personen zurückzuführen ist (also \(QS_{zw}\)).
Diese gesamte Varianz würde dann einfach zur Fehlervarianz gezählt werden.

Die Fehlerquadratsumme bei Durchführung einer einfaktoriellen ANOVA entspräche dann der Fehlerquadratsumme einer ANOVA mit Messwiederholung plus die Varianz, die auf den Personenfaktor zurückgeführt werden kann, die in einer einfaktoriellen ANOVA aber nicht als solche erkannt wird.

In unserem Beispiel betrüge die Fehlerquadratsumme bei Durchführung einer einfaktoriellen ANOVA folglich:

\(\begin{aligned} QS_{e.einfaktoriell} &= QS_{e.messwiederholung} + QS_{zw}\\ &= 72 + 96\\ &= 168 \end{aligned}\)

Wie in Teilaufgabe c) verdeutlicht, reduzieren wir durch einen Versuchsplan mit Messwiederholungen die Fehlerquadratsumme, da wir nun zusätzlich \(QS_{zw}\) ermitteln können:

\(QS_{e.messwiederholung} = QS_{e.einfaktoriell} - QS_{zw}\)

Dies hat den Vorteil, dass wir i.d.R. mehr Varianz aufklären können.

Beachte: dies bedeutet nicht zwangsläufig, dass automatisch auch die Signifikanztestung schneller signifikant wird.

Was bedeutet das für unsere empirische Prüfgröße?

\(F_{emp}\) ist abhängig von \(MQ_A\) und \(MQ_e\): \(F_{emp} = \frac {MQ_A} {MQ_e}\).
Sinkt \(MQ_e\), so steigt \(F_{emp}\) und somit auch die Wahrscheinlichkeit, dass der Signifikanztest der ANOVA signifikant ausfällt.

Doch obwohl sich die Fehlerquadratsumme reduziert, bedeutet dies noch nicht, dass auch \(MQ_e\) automatisch kleiner wird.
Die \(MQ_e\) wird klein, wenn ihr Nenner (\(df_e\)) im Verhältnis zum Zähler (\(QS_e\)) groß wird.
Auf den ersten Blick könnte man meinen, dass dies durch einen Versuchsplan mit Messwiederholung der Fall sein müsste, denn tatsächlich sinkt \(QS_e\) in einem Versuchsplan mit Messwiederholungen (wie wir gerade besprochen haben).

Allerdings reduzieren sich gleichzeitig mit \(QS_e\) auch die Freiheitsgrade \(df_e\):

• während bei der einfaktoriellen ANOVA ohne Messwiederholung die Formel zur Berechnung der Fehlerfreiheitsgrade lautet:
  \(df_e = p \cdot (n-1)\)
  

• Wird nun bei einer ANOVA mit Messwiederholung zusätzlich ein Freiheitsgrad von der Anzahl der Faktorstufen abgezogen:
  \(df_e = (p-1) \cdot (n-1)\)

\(\rightarrow\) somit verringern sich die \(df_e\) bei einer ANOVA mit Messwiederholung um einen Freiheitsgrad.

Ob die \(MQ_e\) sinkt oder steigt und ob somit die Signifikanz des empirischen F-Werts wahrscheinlicher wird, hängt folglich davon ab, wie stark die \(QS_e\) im Vergleich zu \(df_e\) abnimmt.

Wird viel Personenvarianz aufgeklärt, sinkt die \(QS_e\) deutlich, während \(df_e\) nur einen Freiheitsgrad verliert:

Es kann aber auch passieren, dass durch die zusätzliche Betrachtung der Personenvarianz \(QS_{zw}\) nur ein kleiner Varianzanteil aus der Fehlerquadratsumme wegfällt. Trotzdem würde \(df_e\) einen Freiheitsgrad verlieren.
In diesem Fall könnte es passieren, dass sich \(MQ_e\) nicht verkleinert, sondern sogar ansteigt:

Erklärung der Rechenwege:

1. Berechnung der Quadratsummen:

Hier sind bereits fast alle Quadratsummen gegeben, nur \(QS_{AB}\) fehlt.
Um an diesen Wert zu gelangen, greifen wir auf unser Wissen bezüglich der Varianzzerlegung (Vgl. Teilaufgabe a) zurück:
Da sich die Quadratsummen \(QS_A\), \(QS_B\), \(QS_{P(A)}\),\(QS_{AB}\) und \(QS_e\) zur Gesamtquadratsumme \(QS{tot}\) zusammensetzen, können wir die Summe der uns bekannten Quadratsummen von \(QS_A\), \(QS_B\), \(QS_{P(A)}\) und \(QS_e\) berechnen und diese von \(QS_{tot}\) abziehen:

\(\begin{aligned} QS_{AB} &= QS_{tot}- QS_A + QS_B + QS_{P(A)} + QS_e \\ &= 268 - 5 + 34 + 52 + 160\\ &= \underline{\underline{17}} \end{aligned}\)

2. Berechnung der Freiheitsgrade:
Hier müssen wir für jede einzelnen Freiheitsgrade die jeweiligen Formeln anwenden:

Berechnung von \(df_A\):

\(\begin{aligned} df_{A} &= p -1 \\ &= 3-1 \\ &= \underline{\underline{2}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(df_B\):

\(\begin{aligned} df_{B} &= q -1 \\ &= 3-1 \\ &= \underline{\underline{2}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(df_{P(A)}\):

\(\begin{aligned} df_{P(A)} &= p \cdot (n -1) \\ &= 3 \cdot (25-1) \\ &= \underline{\underline{72}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(df_{AB}\):

\(\begin{aligned} df_{AB} &= (p - 1) \cdot (q -1) \\ &= (3-1) \cdot (3-1) \\ &= \underline{\underline{4}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(df_{e}\):

\(\begin{aligned} df_{e} &= p \cdot (q -1) \cdot (n-1) \\ &= 3 \cdot 2 \cdot 24 \\ &= \underline{\underline{144}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(df_{tot}\):

\(\begin{aligned} df_{tot} &= p \cdot q \cdot n -1 \\ &= 3 \cdot 3 \cdot 25 - 1\\ &= \underline{\underline{224}} \end{aligned}\)

Wir können unsere Ergebnisse überprüfen, indem wir schauen, ob die Summe aller Freiheitsgrade \(df_{tot}\) ergibt:
\(2 + 2 + 72 + 4 + 144 = 224\)
\(\rightarrow\) die berechneten Freiheitsgrade scheinen korrekt zu sein.

3. Berechnung der mittleren Quadrate:

Berechnung von \(MQ_A\):

\(\begin{aligned} MQ_A &= \frac {QS_A} {df_A} \\ &= \frac {5} {2} \\ &= \underline{\underline{2.5}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(MQ_B\):

\(\begin{aligned} MQ_B &= \frac {QS_B} {df_B} \\ &= \frac {34} {2} \\ &= \underline{\underline{17}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(MQ_{P(A)}\):

\(\begin{aligned} MQ_{P(A)} &= \frac {QS_{P(A)}} {df_{P(A)}} \\ &= \frac {52} {72} \\ &\approx \underline{\underline{0.72}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(MQ_{AB}\):

\(\begin{aligned} MQ_{AB} &= \frac {QS_{AB}} {df_{AB}} \\ &= \frac {17} {4} \\ &= \underline{\underline{4.25}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(MQ_e\):

\(\begin{aligned} MQ_A &= \frac {QS_e} {df_e} \\ &= \frac {160} {144} \\ &\approx \underline{\underline{1.1}} \end{aligned}\)

4. Berechnung der empirischen Prüfgrößen

Berechnung von \(F_A\):

\(\begin{aligned} F_A &= \frac {MQ_A} {MQ_{P(A)}} \\ &= \frac {2.5} {0.72} \\ &\approx \underline{\underline{3.47}} \end{aligned}\)

Beachte: nur bei der Berechnung von \(F_A\) gilt der Sonderfall, dass nicht \(MQ_e\), sondern \(MQ_{P(A)}\) im Nenner des F-Bruchs steht!

Berechnung von \(F_B\):

\(\begin{aligned} F_B &= \frac {MQ_B} {MQ_e} \\ &= \frac {17} {1.1} \\ &\approx \underline{\underline{15.45}} \end{aligned}\)

Berechnung von \(F_{AB}\):

\(\begin{aligned} F_{AB} &= \frac {MQ_{AB}} {MQ_e} \\ &= \frac {4.25} {1.1} \\ &\approx \underline{\underline{3.86}} \end{aligned}\)

Die Zähler- und Nennerfreiheitsgrade der kritischen F-Werte bei Signifikanztestung einer ANOVA beziehen sich immer auf die Freiheitsgrade des Faktors, deren Mittlere Quadrate im Nenner oder im Zähler der empirischen Prüfgröße steht.

Kritischer F-Wert für Faktor A:

Bei der Berechnung der Prüfgröße für Faktor A stehen die mittleren Quadrate des Faktors A im Zähler und die des Faktors P(A) im Nenner.

\(F_A = \frac {MQ_A} {MQ_{P(A)}}\)

Dies wird auf die Nenner- und Zählerfreiheitsgrade des kritischen F-Werts übertragen:

\(\rightarrow F_{krit_A} = F_{df_A, df_{P(A)}, 1-\alpha}\)

In unserem Beispiel lautet der kritische F-Wert des Hauptfaktors A:
\(F_{krit_A} = F_{2, 72, 1-\alpha}\)

Kritischer F-Wert für Faktor B:

Bei der Berechnung der Prüfgröße für Faktor B stehen die mittleren Quadrate des Faktors B im Zähler und die des Fehlers e im Nenner.

\(F_B = \frac {MQ_B} {MQ_e}\)

Dies wird auf die Nenner- und Zählerfreiheitsgrade des kritischen F-Werts übertragen:

\(\rightarrow F_{krit_B} = F_{df_B, df_e, 1-\alpha}\)

In unserem Beispiel lautet der kritische F-Wert des Hauptfaktors A:
\(F_{krit_B} = F_{2, 144, 1-\alpha}\)

Kritischer F-Wert für Interaktion AB:

Bei der Berechnung der Prüfgröße für die Interaktion AB stehen die mittleren Quadrate der Interaktion AB im Zähler und die des Fehlers e im Nenner.

\(F_{AB} = \frac {MQ_{AB}} {MQ_e}\)

Dies wird auf die Nenner- und Zählerfreiheitsgrade des kritischen F-Werts übertragen:

\(\rightarrow F_{krit_AB} = F_{df_{AB}, df_e, 1-\alpha}\)

In unserem Beispiel lautet der kritische F-Wert des Hauptfaktors A:
\(F_{krit_AB} = F_{4, 144, 1-\alpha}\)