Statistische Nullhypothese:
\(H_0: \underline{\mu_{B2} \geq \mu_{B1}}\) oder alternativ \(\underline{\mu_{d_{B2-B1}} \geq 0}\)
\(\rightarrow\) inhaltlich ausgedrückt: Die Lehrmethode erzielt langfristig anhaltenden Effekte. Die durchschnittliche Matheleistung der Schüler_innen zum Messzeitpunkt B2 nach einem Jahr ist im Vergleich zum Messzeitpunkt direkt nach Durchführung der Lehrmethode konstant geblieben oder sogar weiter angestiegen.

Statistische Alternativhypothese:
\(H_1: \underline{\mu_{B2} < \mu_{B1}}\) oder alternativ \(\underline{\mu_{d_{B2-B1}} < 0}\)
\(\rightarrow\) inhaltlich ausgedrückt: Die Lehrmethode erzielt keine langfristig anhaltenden Effekte. Die durchschnittliche Matheleistung der Schüler_innen zum Messzeitpunkt B2 nach einem Jahr ist geringer als zum Messzeitpunkt direkt nach Durchführung der Lehrmethode.

Es liegen Beobachtungspaare vor, da jede/r Schüler_in jeweils zu beiden Messzeitpunkten getestet wird. Somit kann jedem Wert von Messzeitpunkt B1 ein Wert von Messzeitpunkt B2 zugeordnet werden, welche jeweils beide von der individuellen Mathematikleistung des Schülers/der Schülerin beeinflusst werden und somit abhängig voneinander sind.

Das Konzept der Varianzhomogenität haben wir bereits in Bezug auf t-Tests für unabhängige Stichproben besprochen, da diese essenziell für die Durchführung dieses Verfahrens ist. Dies lässt sich auch an der Formel zur Berechnung der empirischen Prüfgröße im Zuge des t-Tests für unabhängige Stichproben erkennen, da zwei unterschiedliche Varianzen in diese Berechnung eingehen:

Berechnung der empirischen Prüfgröße:

\[t_{emp} = \frac {\bar{d}} {\frac{s_d}{\sqrt{n}}}\] Zur Berechnung der empirischen Prüfgröße benötigen wir drei Komponenten:

• \(\bar{d}\): Der Mittelwert der Differenzwerte der Beobachtungspaare
• \(s_d\): Die Standardabweichung dieser Differenzwerte
• \(\sqrt{n}\): Die Wurzel aus dem Stichprobenumfang n

Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass n =9. \(\bar{d}\) und \(s_d\) müssen wir allerdings erst aus den Rohwerten gewinnen. Beide Kennwerte basieren auf den Differenzen der Beobachtungspaare. Diese berechnen wir zuerst:

1. Berechnung der Differenzen:
   

   Schüler_in	B1	B2	Differenz \(d_i\)
   1	57.3	56.3	-1
   2	54.9	55.9	1
   3	51.9	54.9	3
   4	53.0	52.0	-1
   5	57.6	59.6	2
   6	68.7	70.7	2
   7	68.1	73.1	5
   8	69.8	70.8	1
   9	58.8	55.8	-3

2. Berechnung von \(\bar{d}\)
   Nun berechnen wir den Mittelwert dieser Differenzen \(\bar{d}\):
   \(\bar{d} = \frac{-1+1+3-1+2+2+5+1-3}{9} = \underline{1}\)
   Der Formelsammlung entnehmen wir, dass die Formel zur Berechnung von \(s_d\) lautet: \(s_d= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{(d_i - \bar{d})^2}} {n-1}}\). Dies berechnen wir Schrittweise:

3. Berechnung von \(d_i - \bar{d}\):  Wir ziehen von jedem einzelnen Differenzwert den Mittelwert von 1 ab:
   

   Schüler_in	B1	B2	Differenz \(d_i\)	\(d_i-\bar{d}\)
   1	57.3	56.3	-1	-2
   2	54.9	55.9	1	0
   3	51.9	54.9	3	2
   4	53.0	52.0	-1	-2
   5	57.6	59.6	2	1
   6	68.7	70.7	2	1
   7	68.1	73.1	5	4
   8	69.8	70.8	1	0
   9	58.8	55.8	-3	-4

4. Berechnung von \((d_i - \bar{d})^2\)
   Zur Berechnung von \(s_d\) müssen wir diesen Term für jedes Beobachtungspaar nun quadrieren:
   

   Schüler_in	B1	B2	Differenz \(d_i\)	\(d_i-\bar{d}\)	\((d_i-\bar{d})^2\)
   1	57.3	56.3	-1	-2	4
   2	54.9	55.9	1	0	0
   3	51.9	54.9	3	2	4
   4	53.0	52.0	-1	-2	4
   5	57.6	59.6	2	1	1
   6	68.7	70.7	2	1	1
   7	68.1	73.1	5	4	16
   8	69.8	70.8	1	0	0
   9	58.8	55.8	-3	-4	16

5. Berechnung von \(\sum_{i=1}^n{(d_i - \bar{d})^2}\):
   Wir addieren nun die \((d_i - \bar{d})^2\)- Werte von jedem Beobachtungspaar zusammen:
   \(\sum_{i=1}^n{(d_i - \bar{d})^2}= 4+4+4+1+1+16+16 = \underline{46}\)

6. Berechnung von \(s_d\):
   Nun fügen wir die Zwischenschritte aus der Tabelle in die Formel ein:
   \(\begin{aligned} s_d &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{(d_i - \bar{d})^2}} {n-1}} \\ &= \sqrt{\frac{46} {9-1}} \\ &= \sqrt{5.75} \\ &= \underline{2.398} \end{aligned}\)

7. Berechnung der empirischen Prüfgröße \(t_{emp}\):
   Jetzt können wir endlich alle Kennwerte zusammentragen:
   \(\begin{aligned} t_{emp}&= \frac {\bar{d}} {\frac{s_d}{\sqrt{n}}} \\ &= \frac {1} {\frac{2.398}{\sqrt{9}}} \\ &= \underline{\underline{1.251}} \end{aligned}\)

Ermittlung des kritischen Werts:

Es ist bekannt, dass \(\alpha\) = 0.1 bei linksseitiger Testung und dass \(df = n-1 = 9-1 = 8\) ist. Somit liegen alle notwendigen Infos zur Ermittlung von \(t_{krit}\) vor:

\(t_{krit}= t_{8; 0.10} = -t_{8; 0.90} = \underline{\underline{-1.397}}\)

Vergleich von kritischem und empirischem Wert:

“Die Untersuchung liefert keine Evidenz dafür, dass die durchschnittliche Mathematikleistung der Schüler_innen nach einem Jahr im Vergleich zur durchschnittlichen Mathematikleistung der Schüler_innen direkt nach der Unterrichtseinheit gesunken ist. Es ist somit davon auszugehen, dass der Effekt der neuen Lehrmethode über einen Zeitraum von einem Jahr stabil ist oder sich steigert.”

In diesem Fall werden die Hypothesen nach dem Prinzip aufgestellt, dass die Nullhypothese von keinem Effekt/Unterschied ausgeht.

\(\rightarrow\) Du solltest einen t-Test für abhängige Stichproben verwenden.

• Du hast die Daten einer Zufallsstichprobe von Messwertpaaren.
• Extraversionswerte sind im Allgemeinen normalverteilt.
• Du kannst davon ausgehen, dass die Messwertreihen moderat kovariieren.

Hypothesen:

\(\boldsymbol{H_0: \mu_d = 0}\), alternativ \(\boldsymbol{H_0: \mu_{t_1} = \mu_{t_2}}\)
\(\boldsymbol{H_1: \mu_d \neq 0}\), alternativ \(\boldsymbol{H_1: \mu_{t_1} \neq \mu_{t_2}}\)

mit \(t_1\) = erster Messzeitpunkt, \(t_2\) = zweiter Messzeitpunkt und \(d\) = Differenz zwischen den mittleren Extraversionswerten zu den beiden Messzeitpunkten

Welche ist Deine »Wunschhypothese«? Darauf solltest Du achten, wenn Du das Fehlerrisiko festlegst.

• Da in diesem Fall die Nullhypothese Deine »Wunschhypothese« ist (Du willst ja, dass sich die Mittelwerte nicht signifikant unterscheiden, also dass der Fragebogen gut ist), sollte \(\alpha\) nicht zu niedrig sein. Diese Situation ist vergleichbar zu den Tests auf Varianzhomogenität. Du solltest die Teststärke für das Entdecken eines Unterschiedes indirekt durch \(\alpha\) erhöhen, denn dieses Vorgehen ist hierbei konservativ.
• Du könntest \(\alpha\) beispielsweise auf 10% setzen.

Kritische Werte:

• Du führst einen zweiseitigen Test durch und hast daher zwei kritische t-Werte.
• Zunächst benötigst Du die Freiheitsgrade.
  • \(n = 25\)
  • \(df = n - 1 \rightarrow df = 24\)
• Bei \(\alpha = 10\%\) musst Du in der Tabelle den Wert \(t_{24;0.95}\) suchen, da man \(\alpha\) auf beide Enden der Verteilung aufteilt:
  • \(t_{24;0.95} = 1.711 \rightarrow t_{24;0.05} = -1.711\)
    

Empirische Prüfgröße:

• Formel für t:
  • \(t_{emp} = \frac {\bar{d}} {\frac{s_d}{\sqrt{n}}}\)
• Gegeben:
  • \(n = 25\)
  • \(\bar{d} = 0.25\)
  • \(s_d = 0.75\)
• Einsetzen in die Formel:
  • \(t_{emp} = \frac {0.25} {\frac{0.75}{\sqrt{25}}} = \underline{1.667}\)
    

Vergleich von kritischem und empirischem t-Wert:
\[1.667 < 1.711 \enspace also: t_{emp} < t_{krit} \enspace \]
\(\rightarrow\) Die Nullhypothese wird beibehalten.

Die Evidenz spricht dafür, dass sich die mittleren Extraversionswerte bei Psychologiestudierenden zwischen Erhebungen im Abstand von 6 Wochen nicht unterscheiden.

Hier sind einige verbesserungswürdige Aspekte:

• Die Untersuchung bezieht sich nur auf Psychologiestudierende. Wenn der Test nicht nur bei Psychologiestudierenden angewandt werden soll, sollte eine bevölkerungsrepräsentative Stichprobe erhoben werden z.B. hinsichtlich Alter, Bildungsgrad, Geschlecht usw.
• Die Stichprobe ist sehr klein. Für Fragebogenvalidierungen sind Stichprobengrößen von mehreren hundert Personen üblich.
  (Aufgepasst: Bei einer größeren Stichprobe wäre auch die Teststärke größer, daher würde der Test mit hoher Wahrscheinlichkeit auch bei einem kleinen Unterschied signifikant werden. Dies müsste in der Interpretation beachtet werden. Im Kontext dieser Aufgabe würde die Wahrscheinlichkeit steigen, dass die »Wunschhypothese« verworfen wird, nämlich dass der Fragebogen stabil misst.)
• Der untersuchte Zeitabstand ist mit 6 Wochen zwar üblich, aber dennoch klein: Persönlichkeitsmerkmale sollten eher über Jahre stabil sein. Darauf kann für den Fragebogen durch die erhobenen Daten nur bedingt geschlossen werden.

1. Ein-Stichproben-t-Test:

• \(\mu\) ist bekannt, σσ jedoch nicht \(\rightarrow\) Wir müssen \(\sigma\) durch \(s\) schätzen, wodurch die Prüfgröße einer t-Verteilung folgt \(\rightarrow\) Es muss ein Verfahren aus der Familie der t-Tests angewandt werden
• Wir können davon ausgehen, dass die Abweichung vom Durchschnitt normalverteilt ist.
• Hierbei vergleichen wir eine Stichprobe mit der Gesamtpopulation \(\rightarrow\) Ein-Stichproben-t-Test
  

2. t-Test für abhängige Stichproben (“paired t-Test”):

• Es liegen Daten einer Zufallsstichprobe von Messwertpaaren vor, da jede/r der Mitarbeiter_nnen zwei Mal getestet wird (jeweils einmal pro IQ Test)
• Wir können davon ausgehen, dass die Voraussetzungen des t-Tests für abhängige Stichproben gegeben sind, da es sich um eine Zufallsstichprobe handelt und da das Merkmal IQ in der Regel normalverteilt ist

3. z-Test:

• \(\mu\) und \(\sigma\) sind bekannt \(\rightarrow\) z-Transformation der Prüfgröße möglich
• Voraussetzungen des z-Tests sind erfüllt, da die Studierenden zufällig gewählt wurden und das Merkmal IQ einer Normalverteilung folgt

4. Levene-Test oder F-Test:

• Es liegen Daten zweier unabhängiger Zufallsstichproben vor (Professor_innen der HTW und der HU) \(\rightarrow\) zur Auswertung der Fragestellung der Abiturientin wird ein t-Test für unabhängige Stichproben benötigt
• Da die Abiturientin sich unsicher ist, ob bei Hochschul- und Uniprofessoren die gleiche Streuung bezüglich der Semesterwochenstunden vorliegt, muss sie zunächst die Voraussetzung der Varianzhomogenität überprüfen \(\rightarrow\) dies kann durch einen F-Test oder einen Levene-Test erfolgen

5. Welch’s-t-Test:

• Es liegen Daten zweier unabhängiger Zufallsstichproben vor (Schüler_innen mit und ohne TikTok Account) \(\rightarrow\) zur Auswertung der Fragestellung der Studierenden wird ein t-Test für unabhängige Stichproben benötigt
• Da keine Varianzhomogenität vorliegt, müssen die Freiheitsgrade der t-Verteilung nach unten korrigiert werden. \(\rightarrow\) Welchs t-Test

6. Shapiro-Wilk-Test:

• Da es keine allgemeingültigen Erkenntnisse über die Verteilungsform der beruflichen Interessen gibt, können wir auch nicht davon ausgehen, dass dieses Merkmal normalverteilt ist \(\rightarrow\) der Shapiro-Wilk-Test überprüft, ob Normalverteilung vorliegt
• Erst wenn wir diese Voraussetzung bestätigt haben, können wir im Folgenden den t-Test durchführen

Hier ein exemplarischer Entscheidungsbaum zur Auswahl eines geeigneten Verfahrens: