Ein-Stichproben-t-Test

Voraussetzungen:

• es muss sich um eine Zufallsstichprobe handeln
• Das Merkmal x (Hier: die Mathematikleistung) muss in der Population normalverteilt sein
• Der Erwartungswert \(\mu_0\) muss bekannt sein (ohne diesen wäre die Berechnung der empirischen Prüfgröße nicht möglich, vgl. Formel)
• die Populationsvarianz \(\sigma\) ist unbekannt \(\rightarrow\) in diesem Fall ist die Anwendung eines z-Tests unzulässig. Stattdessen ist die Anwendung eines t-Test indiziert, welcher \(\sigma\) durch die Streuung der Stichprobe \(s\) schätzt

Statistische \(H_0\):
\(\underline{\mu_0 \geq \mu_B}\) bzw. inhaltlich identisch: \(\underline{\mu_B \leq \mu_0}\)

Statistische \(H_1\):
\(\underline{\mu_B > \mu_0}\) bzw. \(\underline{\mu_0 < \mu_B}\)

Tipp:
Manchmal ist es leichter, zunächst die \(H_1\) zu notieren (hier: Methode B führt zu höheren Ergebnissen im Mathetest als Methode A). Danach kann dann erschöpfend die \(H_0\) definiert werden (hier: sowohl besseres Abschneiden der Gruppe mit Methode A als auch gleiche Ergebnisse).

1. Ermittlung des kritischen Werts \(t_{krit}\):

Wir haben die folgenden Informationen gegeben, auf Grundlage derer wir den kritischen Wert aus der Tabelle ablesen können: \(df = n-1 = 8\); \(\alpha= 0.1\), einseitig
\(\rightarrow t_{krit} = t_{df, 1-\alpha} = t_{8, 0.9}\)

Das entsprechende Perzentil schlagen wir in der Tabelle der t-Verteilung nach. Diese folgt einem anderen Aufbau als die Verteilungstabelle der z-Werte, die wir aus den vorausgegangenen Sitzungen kennen.
In den Zellen stehen die entsprechenden t-Werte, in Abhängigkeit der Freiheitsgrade (in den Zeilen: ‘df’) und der jeweiligen Fläche, die unter dem entsprechenden t-Wert liegen soll: Wir suchen den t-Wert, unter dem 90% einer t-Verteilung mit \(df\)= 8 Freiheitsgraden liegt und finden:

\(t_{8, 0.9} = 1.397\)

2.Berechnung der empirischen Prüfgröße \(t_{emp}\):

Die entsprechende Formel entnehmen wir der Formelsammlung und fügen die bereits gegebenen Kennwerte \(\bar{x}\) = 60, \(\mu_0\) = 50, \(s_x\) = 7 und \(n\) = 9 ein:
\(\begin {aligned} t_{emp} &= \frac{\bar{x} - \mu_o} {\frac{s_x} {\sqrt{n}}} \\ &= \frac{60 - 50} {\frac {7} {\sqrt{9}}} \\\ &= \frac {10} {\frac {7} {3}} \\ &\approx \underline{4.286} \end{aligned}\)

3. Testentscheidung:
\(1.397 < 4.286 \rightarrow \underline{\underline{t_{krit} < t_{emp}}} \rightarrow\) Verwerfung der \(H_0\)

\(H_0\): \(\boldsymbol{H_0: \mu = \mu_0}\)
\(H_1\): \(\boldsymbol{H_1: \mu \neq \mu_0}\)
kritischer Wert: \(\boldsymbol{t_{30,97.5\%} = \underline{\underline{2.042}}}\) und \(\boldsymbol{t_{30,2.5\%} = \underline{\underline{-2.042}}}\)
empirische Prüfgröße: \(\boldsymbol{t_{30} \approx 2}\)
Testentscheidung: Die Nullhypothese wird beibehalten.
möglicher Fehler nach erfolgter Testentscheidung: \(\boldsymbol{\beta}\)-Fehler
Interpretation: Es gibt keine Evidenz dafür, dass sich die Depressionswerte von Personen mit nicht-korrigierter Sehschwäche im Mittel von denen der Allgemeinbevölkerung unterscheiden.

• Wir interessieren uns für eine Unterschiedshypothese mit einer Zufallsstichprobe bei einem normalverteilten Merkmal in der Population mit gegebenem Populationsmittelwert unter der Nullhypothese. Es ist keine Populationsvarianz gegeben. Wir verwenden einen Ein-Stichproben-t-Test.
• Hypothesen:
  • Wir testen eine ungerichtete Alternativhypothese, dass sich die die Depressionswerte der Personen mit nicht-korrigierter Sehschwäche im Mittel von denen der Allgemeinbevölkerung unterscheiden: \(H_1: \mu \neq \mu_0\)
  • Wir formulieren die dazu passende erschöpfende Nullhypothese: \(H_0: \mu = \mu_0\)
• kritischer Wert:
  • Für \(\alpha = .05\) bei ungerichteter Testung Teilen wir die 5% auf beide Enden der Verteilung auf und suchen die t-Werte von 2.5% und 97.5%.
  • Wir müssen die Freiheitsgrade berechnen, um die kritischen Werte in der Tabelle nachzuschlagen: \(df = n - 1\) mit \(n = 31 \rightarrow df = 31 - 1 = \underline{\underline{30}}\)
  • Wir schauen also in der Tabelle der t-Verteilung bei 0,975 und \(df = 30\) nach. Die kritischen t-Werte lauten \(t_{30,97.5\%} = \underline{\underline{2.042}}\) und \(t_{30,2.5\%} = \underline{\underline{-2.042}}\)
• empirische Prüfgröße:
  • Um den empirischen t-Wert zu berechnen, verwenden wir die Formel aus der Formelsammlung für den 1-Stichproben-t-Test: \(t = \frac{\bar{x}-\mu}{s_\bar{x}} = \frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s_x}{\sqrt{n}}}\)
  • folgende Werte sind uns gegeben:
    \(\mu = 5\) \(\bar{x} = 5.8\) \(s^2 = 2.25\) \(n = 31\)
  • Wir setzen ein: \(t = \frac{5.8-5}{\frac{2.25}{\sqrt{31}}} \approx \underline{\underline{2}}\)
• Testentscheidung:
  • Wir vergleichen den empirischen mit dem passenden kritischen t-Wert: \(2 < 2.042\)
  • Die empirische ist kleiner als der kritische Wert. Wir behalten die Nullhypothese bei.
  • Dabei können wir den Fehler 2. Art begehen.
• Interpretation:
  • In den Interpretationssatz müssen wir folgende Bestandteile einbauen:
    • Kennwert: Mittelwert
    • aV: Depressionswerte
    • uV: Personen mit nicht-korrigierter Sehschwäche
    • Testentscheidung und deren Richtung: kein Unterschied
    • kein Verweis auf die Stichprobe
    • Hinweis auf den probabilistischen Gehalt der Aussage (wir haben lediglich Evidenz gesammelt)
  • Es gibt keine Evidenz dafür, dass sich die Depressionswerte von Personen mit nicht-korrigierter Sehschwäche im Mittel von der denen Allgemeinbevölkerung. unterscheiden.

• Korrekt Die Streuung einer beliebigen t-Verteilung mit geringem N ist immer breiter als die Streuung einer Standardnormalverteilung.
  \(\rightarrow\) Erklärung: Bei Durchführung eines t-Tests schätzen wir \(\sigma\) durch s. Diese Schätzung geht natürlich mit Ungewissheit einher: Wir schätzen \(\sigma\) durch s, kennen den tatsächlichen Wert von \(\sigma\) aber nicht sicher.
  Diese Unsicherheit drückt sich in einer größeren Streuung der t-Verteilung aus: Die t-Verteilungen sind breiter und haben mehr Masse in ihren Enden: Mit steigendem Stichprobenumfang N wird unsere Schätzung von \(\sigma\) durch s aber zunehmend genauer und unser Standardfehler folglich geringer. Somit gleicht sich die t-Verteilung mit steigendem N zunehmend einer z-Verteilung an.
• Korrekt Ein t-Test ist hinsichtlich der Ablehnung der \(H_0\) konservativer als ein z-Test (ceteris paribus).
  \(\rightarrow\) Erklärung: „konservativer“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass bei Durchführung eines t-Tests eine bestimmte empirische Prüfgröße mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit zur Ablehnung der \(H_0\) führt, als bei einem z-Test.
  Dies hängt damit zusammen, dass eine t-Verteilung breiter als eine Standardnormalverteilung ist, was bedeutet, dass sie breitere Ränder hat (s.o.). Um z.B. ein α von 5% rechts nach außen hin abzuschneiden, muss ein kritischer t-Wert somit höher sein, als ein kritischer z-Wert: Es ist somit unwahrscheinlicher, einen kritischen t-Wert mit einer empirischen Prüfgröße zu überschreiten und die \(H_0\) abzulehnen, als einen kritischen z-Wert. Folglich ist ein t-Test unter sonst gleichen Bedingungen konservativer als ein z-Test.
  
• Korrekt Der t-Test verliert einen Freiheitsgrad gegenüber dem z-Test, da bei diesem \(\sigma^2\) durch die Stichprobenvarianz \(s^2\) geschätzt werden muss.
  \(\rightarrow\) Erklärung: Freiheitsgrade geben die Anzahl der frei variierbaren Werte an, welche in die Berechnung einer Statistik eingehen. Bei der Berechnung der Stichprobenvarianz \(s^2\) (zur Schätzung von \(\sigma^2\)) verlieren wir einen frei variierbaren Wert, da in die Berechnung der Varianz der Stichprobenmittelwert \(\bar{x}\) einfließt, welcher fix und somit nicht frei variierbar ist. Dies ist der Grund, warum die Prüfgröße nicht länger einer Standardnormalverteilung folgt und wir folglich einen t-Test anstelle eines z-Tests anwenden müssen.
• Falsch Ist die Populationsstreuung \(\sigma\) unbekannt, folgt die Prüfgröße unter der \(H_0\) immer einer t-Verteilung
  \(\rightarrow\) Erklärung: In der Regel gehen wir davon aus, dass die Prüfgröße unter der \(H_0\) einer t-Verteilung folgt, wenn \(\sigma\) unbekannt ist. Jedoch gilt dies nicht immer: Wir müssen prüfen, ob auch die anderen Voraussetzungen erfüllt sind (hier für den 1-Stichproben-t-Test):
  • einfache Zufallsstichprobe
  • Merkmal in der Population normalverteilt
  • Erwartungswert bekannt
    
  Übrigens: Mit zunehmendem N nähert sich die t-Verteilung einer z-Verteilung an. In der Praxis wird, wenn die anderen Annahmen erfüllt sind, bei n > 30 der z-Test angewandt, weil man davon ausgeht, dass die Approximation an die Standardnormalverteilung ausreichend ist. (Streng genommen haben wir in Wirklichkeit aber nie eine Stichprobengröße von \(\infty\), sodass der zentrale Grenzwertsatz vor allem ein hypothetischer Spezialfall ist. Ansonsten würde man sagen, dass die Prüfgröße dennoch t-verteilt ist, auch wenn sie sich der z-Verteilung annähert.)

t-Test für unabhängige Stichproben

Vergleichen wir nicht eine einzige Stichprobe mit einer Population, sondern zwei Stichproben miteinander UND sind diese Stichproben unabhängig voneinander, wenden wir den t-Test für unabhängige Stichproben an.

Voraussetzungen:

• es müssen 2 einfache, voneinander unabhängige Zufallsstichproben vorliegen
• das Merkmal muss in beiden Populationen normalverteilt sein
• die Varianzen der beiden Populationen sind unbekannt
• Varianzhomogenität

Hinweis: Herr A. geht davon aus, dass die traditionelle Lehrmethode effektiver ist, also zu besseren Leistungen führt.

Statistische Nullhypothese:
\(\underline{H_0 = \mu_B \geq \mu_A}\) bzw. alternativ \(\underline{\mu_A \leq \mu_B}\)

\(\rightarrow\) es handelt sich also um eine linksseitige Testung.

Es handelt sich um voneinander unabhängige Stichproben, da die Leistung eines/einer Schüler_in in Gruppe A keine Informationen über die Leistung eines/einer Schüler_in in Gruppe B liefert. Sie sind somit vollkommen unabhängig voneinander.

\(df = n_1 + n_2 - 2 = 9 + 10 - 2 = \underline{\underline{17}}\)

Die empirische Prüfgröße können wir dem R-Output entnehmen (\(\underline{t_{emp}= 1.6081}\))

Die kritische Prüfgröße müssen wir in der Tabelle ablesen. Aus dem Output können wir die dazu erforderliche Anzahl an Freiheitsgraden ablesen (\(df = 17\)).
Da wir einseitig mit \(\alpha\) = 0.05 testen, suchen wir in der Spalte 0.95 und der Zeile 17 und lesen den Wert \(1.74\) ab. Da wir linksseitig testen, setzen wir zudem ein negatives Vorzeichen vor diesen Wert.
\(\underline{t_{krit} = - 1.74}\)

Testentscheidung:
\(-1,74 < 1.6081 \rightarrow \underline{\underline{t_{krit} < t_{emp}}} \rightarrow\) Beibehaltung der \(H_0\)
Beachte: Da linksseitig getestet wird, führt \(t_{krit} < t_{emp}\) zur Beibehaltung (und nicht wie bei rechtsseitiger Testung zur Verwerfung) der Nullhypothese.

Interpretation:
Die Untersuchung spricht gegen die Annahme, dass Schüler_innen unter der Lehrmethode A im Mittel bessere mathematische Leistungen erbringen als Schüler unter der Lehrmethode B.

Im Allgemeinen lassen sich folgende Informationen aus dem R-Output eines Welch`s t-Test ablesen:

Im Kontext der Aufgabe gewinnen wir folgende Informationen:

• Anhand der Tatsache, dass Welch`s t-Test durchgeführt wurde (und somit t-Test für unabhängige Stichproben), können wir schlussfolgern, dass unabhängige Stichproben vorliegen
• unabhängige Variable: es wurden die beiden Gruppen ‘A.2’ und ‘B’ verglichen
• empirische Prüfgröße: -2.9562
• korrigierte Freiheitsgrade: 13.516
• verdoppelter p-Wert: 0.01075 \(\rightarrow\) dies tut R bei zweiseitiger Testung automatisch (wie auch beim Levene-Test) \(\rightarrow\) wir können den Wert also direkt mit unserem vorher festgelegten \(\alpha\)-Niveau vergleichen
• Alternativhypothese: “Die Differenz der Mittelwerte in der Population ist ungleich 0.” \(\rightarrow\) Die Mittelwerte der beiden Populationen sind nicht identisch \(\rightarrow H_1: \mu_A \neq \mu_B\). Wir wissen somit, dass es sich um eine ungerichtete Alternativhypothese handelt.
• Grenzen des 90% Konfidenzintervalls um die Mittelwertdifferenz: [-13.465, -12.347]
• Mittelwerte beider Stichproben:
  • Mittelwert der Stichprobe A \(\approx\) 47.094
  • Mittelwert der Stichprobe B \(\approx\) 60

Testentscheidung:
Es bieten sich zwei alternative Wege zur Testentscheidung an:

1.Vergleich von \(\alpha\) (0.1) und dem p-Wert (0.01):
\(\alpha\) > p-Wert \(\rightarrow\) Verwerfung der \(H_0\)

2.Vergleich von \(\mu_0\) und den Grenzen des Konfidenzintervalls:
Bei ungerichteter \(H_1\) gilt: Liegt \(\mu_0\) außerhalb der Grenzen des Konfidenzintervalls, wird die \(H_0\) verworfen (Vergleiche Lösung der Aufgabe 1e zum Thema z-Test).
Anhand des Outputs haben wir erkannt, dass die \(H_1\) postuliert, dass der Mittelwertsunterschied ungleich 0 ist \(\rightarrow\) die \(H_0\) postuliert somit, dass der Mittelwertunterscheid gleich null ist: \(\mu_0\) = 0
das KI wurde um den Mittelwertsunterschied der beiden Stichproben gebildet (47-60=-13). Dieses KI vergleichen wir mit dem in der H0 postulierten Unterschied von 0.
Da 0 außerhalb (genauer: oberhalb) der Konfidenzintervallgrenzen von -13.465 und -12.347 liegt, wird die \(H_0\) verworfen.

• Wochentag (Hauptstraßen sind sonntags weniger befahren)
• Tageszeit (Cortisolspiegel schwankt circadian)
• Cortisolprobe möglichst bei den Proband_innen zu Hause nehmen (räumlich und somit zeitlich nah zur möglichen Stressquelle)
• Hörvermögen der Proband_innen
• andere Aspekte der Wohnumgebung (z.B. Ästhetik der Architektur, Vorhandensein nahgelegener Parks, Art des Wohnhauses) mit potenziellem Einfluss auf Stress
• Alter der Untersuchungspersonen (mittelalte Personen haben den höchsten durchschnittlichen Cortisolspiegel)
• usw.

\(H_0: \enspace \mu_H = \mu_R\)
\(H_1: \enspace \mu_H \neq \mu_R\)

kritischer Wert: \(\boldsymbol{t_{29,97.5\%} = 2.045}\) und \(\boldsymbol{t_{emp} = -2.045}\) mit \(df = 29\)
empirische Prüfgröße: \(\boldsymbol{t_{29} = 3.377}\)
Testentscheidung: Die Nullhypothese wird verworfen.
möglicher Fehler nach erfolgter Testentscheidung: \(\boldsymbol{\alpha}\)-Fehler

• Wir verwenden Welch’s t-Test für unabhängige Stichproben mit heterogenen Varianzen, weil wir zwei unabhängige Zufallsstichproben mit unterschiedlichen Varianzen hinsichtlich ihres Mittelwertes in einer hinsichtlich des Merkmals normalverteilten Population vergleichen wollen, um auf einen mittleren Gruppenunterschied in der Population zu testen.

• Den kritischen Wert bestimmen wir mit \(\alpha = .05\) für einen ungerichteten Test folgendermaßen:

  • Zunächst bestimmen wir die korrigierten Freiheitsgrade.
  • geg.: \(n_1 = n_H = 31\), \(n_2 = n_R = 21\), \(s_H = s_1 = 3\), \(s_R = s_2 = 5\)
    \(df_{corr} = \frac{(\frac{s^2_{x_1}}{n_1}+\frac{s^2_{x_2}}{n_2})^2}{\frac{s^4_{x_1}}{n^2_{1} \cdot (n_1 - 1)}+\frac{s^4_{x_2}}{n^2_{2} \cdot (n_2 - 1)}}\)
    \(df_{corr} = \frac{(\frac{3^2}{31}+\frac{5^2}{21})^2}{\frac{3^4}{31^2 \cdot 30}+\frac{5^4}{21^2 \cdot 20}} = \underline{\underline{29.764 \approx 29}}\)
    
    • (Abrunden, da weniger Freiheitsgrade indirekt zu einem geringeren \(\alpha\) führen und die Korrektur der Freiheitsgrade insgesamt als konservative Kontrolle des Signifikanzniveaus zu sehen ist.)
  • Wir teilen für zweiseitiges Testen \(\alpha = 5\%\) auf beide Enden der Verteilung auf, suchen also \(t_{97.5\%}\) und \(t_{2.5\%}\)
  • Wir schlagen in der Tabelle \(t_{97.5\%}\) mit \(df = 29\) nach: \(\quad \rightarrow\) unsere kritischen Werte sind: \(t_{29,97.5\%} = 2.045\) und \(t_{29,2.5\%} = -2.045\)

• Die empirische Prüfgröße berechnen wir mit der Formel für Welch’s t-Test:
  \(t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}} = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s^2_{x_1}}{n_1}+\frac{s^2_{x_2}}{n_2}}}\)
  \(\enspace = \frac{13 - 8}{\sqrt{\frac{3^2}{31}+\frac{5^2}{21}}} \approx \underline{\underline{4.109}}\)

• Für die Testentscheidung vergleichen wir den empirischen mit dem kritischen t-Wert: \(|4.109| > | \pm 2.045| \enspace \rightarrow\) Die Nullhypothese wird verworfen.

• Es besteht das Risiko eines \(\boldsymbol{\alpha}\)-Fehlers.

Es besteht Evidenz dafür, dass Personen, die an Hauptstraßen wohnen, im Mittel einen höheren Cortisolspiegel haben als Personen in ruhigeren Wohngegenden.