Berechnung der Kovarianz:

• zuerst werden die Abweichungen der einzelnen Messwerte von dem jeweiligen Mittelwert berechnet
• dann sollten die Abweichungsprodukte der Messwertepaare berechnet werden:

• dabei sollte man die Messwertpaare einhalten, d.h. zu \(x_1\) \(y_1\) und zu \(x_2\) \(y_2\) nehmen
• Dann wird die Summe der Abweichungsprodukte gebildet \[\sum_{i=1}^n (x_i- \bar{x})\cdot(y_i- \bar{y})=(2-6)\cdot(7-5) \\ +(6-6)\cdot(5-5)+(10-6)\cdot(3-5)=16\]
• danach teilt man die Summe der Abweichungsprodukte durch \(n-1\), wobei \(n\) die Anzahl der Messwertepaare ist \[s_{xy}=\frac {\sum_{i=1}^n (x_i- \bar{x})\cdot(y_i- \bar{y})}{n-1}=\frac {16}{3-1}=\underline{\underline{-8}}\]

Berechnung der Produkt-Moment Korrelation:

• man teilt die erhaltene Kovarianz \(s_{xy}\) durch das Produkt der Varianzen \(s_x\) und \(s_y\) \[r_{xy}=\frac {s_{xy}}{s_x \cdot s_y}=\frac {-8}{\sqrt{16} \cdot \sqrt{4}}=\underline{\underline{-1}}\]

1. Die Korrelation \(r_{xy}\) ändert sich nicht, wenn jeder Wert von \(x\) mit \(a^2\) multipliziert wird.
   RICHTIG. Korrelationen sind invariant gegenüber linearen Transformationen \(u = a + b\cdot{x}\). Hier ist \(a=0\), \(b=a^2\).
2. Die Korrelation \(r_{xy}\) ändert sich, wenn jeder Wert von \(y\) quadriert wird.
   RICHTIG. Korrelationen sind nur invariant gegenüber linearen Transformationen. Quadrieren ist keine lineare Transformation.
3. Die Korrelation \(r_{xy}\) ändert sich, wenn der erste und letzte Wert von \(x\) vertauscht werden.
   RICHTIG. Korrelationen sind nur invariant gegenüber linearen Transformationen. Messwertpaare müssen beibehalten werden.
4. Die Korrelation \(r_{xy}\) ändert sich, wenn jeder Wert von \(x\) und \(y\) \(z\)-transformiert wird.
   FALSCH. Korrelationen sind invariant gegenüber linearen Transformationen wie der \(z\)-Transformation.

1. Die Kovarianz ist ein standardisiertes Zusammenhangsmaß, welches zur Beschreibung von linearen Zusammenhängen verwendet wird.
   FALSCH, die Kovarianz ist ein nicht-standardisiertes Zusammenhangsmaß.
2. Im Gegensatz zur Kovarianz kann die Korrelation nicht nur lineare sondern auch andere Zusammenhänge beschreiben. Daher eignet sich die Korrelation auch besser als Zusammenhangsmaß.
   FALSCH, Korrelation beschreibt, genauso wie die Kovarianz, lineare Zusammenhänge.
3. Bei einem perfekten linearen Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\) liegen alle Punkte im Streudiagramm auf einer Geraden.
   RICHTIG. Das werden wir uns im Rahmen der linearen Regression nochmal genauer ansehen. Erstmal aber: je enger der Zusammenhang, desto weniger ähnelt sich das Muster, in dem die Messwerte im Streudiagramm liegen, einem Kreis.
4. Der Korrelationskoeffzient \(r\) ist die Kovarianz geteilt durch die Varianz von \(x\) und \(y\).
   FALSCH, \(r\) ist de Kovarianz geteilt durch das Produkt der Standardabweichungen von \(x\) und \(y\).

• als Erstes sollte man die \(r\)-Werte in \(Z\)-Werte umrechnen, da die Abstände bei \(r\)-Werten im Gegensatz zu \(Z\)-Werten nicht interpretierbar sind: \[Z = \frac{1}{2}\cdot\ln{\frac{1+r}{1-r}}\] \[Z_1 = \frac{1}{2}\cdot\ln{\frac{1+0.50}{1-0.50}} \approx 0.549\] \[Z_2 = \frac{1}{2}\cdot\ln{\frac{1+0.80}{1-0.80}} \approx 1.099\]
• danach mittelt man die \(Z\)-Werte \[\bar{Z}=\frac{Z_1+Z_2}{2} = \frac{0.549+1.099}{2}=0.824\]
• den erhaltenen \(Z\)-Wert sollte man rücktransformieren in einen \(r\)-Wert \[\bar{r} = \frac{e^{2\cdot Z}-1}{e^{2\cdot Z}+1}= \frac{e^{2\cdot 0.824}-1}{e^{2\cdot 0.824}+1} \approx \underline{\underline{0.68}}\]

• den 1-Stichprobentest mit \(H_0: \rho = 0\) durchführen
• Prüfgröße berechnen \[t = \frac{r\cdot \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\]
• Freiheitsgrade berechnen \[df = n-2\]
• den kritischen Wert in der Tabelle der \(t\)-Verteilung nachschauen
• die Prüfgröße mit dem kritischen Wert vergleichen und Testentscheidung treffen

• die Fragestellung hier lautet: Weicht die empirisch ermittelte Korrelation \(r =-.15\) signifikant von der Annahme ab, dass kein linearer Zusammenhang zwischen den untersuchten Variablen in der Population besteht?

• es wird nur eine Stichprobe untersucht

• 1-Stichprobentest mit \(H_0: \rho = 0\) und \(H_1: \rho \neq 0\) (erschöpfend formuliert)

• Prüfgröße berechnen: \[t = \frac{r\cdot \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} = \frac{-.15\cdot \sqrt{122-2}}{\sqrt{1-(-.15)^2}} \approx \underline{\underline{-1.662}}\]

• kritischen Wert bestimmen:

  • zuerst dazugehörige Freiheitsgrade berechnen: \[df = n-2=122-2=120\]
  • wir testen zweiseitig: wir wollen feststellen, ob sich die Korrelation in der Stichprobe signifikant von der in der Population unterscheidet.
  • dafür sollten wir das Signifikanzniveau \(\boldsymbol{\alpha}\) durch \(\boldsymbol{2}\) teilen: wir wollen uns die beiden Seiten der Verteilung anschauen
  • somit brauchen wir einen kritischen Wert für \(1- \frac{0.01}{2} = 1-0.005 = 0.995 = 99.5\%\)
  • wir schauen in der Tabelle der \(t\)-Verteilung für \(t_{120;99,5\%}\) nach:

• kritischer Wert: \(t_{120;99,5\%} = \underline{\underline{\pm 2.62}}\)

• jetzt vergleichen wir die Prüfgröße mit dem kritischen Wert: \[t_{krit} = \pm 2.62> |-1.662|\]

• der Betrag der Prüfgröße ist kleiner als der kritische Wert \(\Rightarrow\) die Nullhypothese, dass die Stichprobenkorrelation mit der Populationskorrelation übereinstimmt, wird beibehalten

• dabei können wir den \(\boldsymbol{\beta}\)-Fehler begehen, d.h. die Nullhypothese zu Unrecht beibehalten

\(H_0\): \(\boldsymbol{\rho = 0}\)
\(H_1\): \(\boldsymbol{\rho \neq 0}\)
Prüfgröße: \(\boldsymbol{-1.662}\) mit \(\boldsymbol{df = 120}\)
kritischer Wert: \(\boldsymbol{t_{120; 99.5\%} = \pm 2.62}\)
Testentscheidung: Die \(H_0\) wird beibehalten.
möglicher Fehler nach erfolgter Testentscheidung: \(\boldsymbol{\beta}\)-Fehler

• den 1-Stichprobentest \(\boldsymbol{H_0}\): \(\boldsymbol{\rho=\rho_0}\) durchführen
• Korrelationen Z-transformieren
• Prüfgröße berechnen \[z = \sqrt{n-3}\cdot (Z-Z_0)\]
• den kritischen Wert in der Tabelle der \(z\)-Verteilung nachschauen
• die Prüfgröße mit dem kritischen Wert vergleichen und Testentscheidung treffen

• die Fragestellung hier lautet: Unterscheidet sich die Stichprobe der Absolventen einer Berliner Uni in Bezug auf den Zusammenhang zwischen Uni-Abschlussnote und Abiturnote von einer Population (= Grundgesamtheit) mit \(\rho_0=0.50\) für diesen Zusammenhang?
• Wir vergleichen den Wert einer Stichprobe mit dem Populationswert
• 1-Stichprobentest fur \(\boldsymbol{H_0}\): \(\boldsymbol{\rho=\rho_0}\)
• \(H_0: \rho = 0.50\), \(H_1: \rho \neq 0.50\)
• Prüfgröße berechnen:
  • Wir vergleichen zwei Korrelationen miteinander, deswegen brauchen wir die Fischer \(Z\)-Transformation der beiden Korrelationen \[Z_0 = \frac{1}{2}\cdot\ln{\frac{1+0.50}{1-0.50}} \approx 0.549\] \[Z = \frac{1}{2}\cdot\ln{\frac{1+0.42}{1-0.42}} \approx 0.448\]
  • dann kann die Prüfgröße selbst berechnet werden: \[z = \sqrt{n-3}\cdot (Z-Z_0) = \sqrt{100-3}\cdot (0.448-0.549) \approx \underline{\underline{-1.001}}\]
• den kritischen Wert bestimmen:
  • wir testen zweiseitig: wir wollen feststellen, ob sich die Korrelation in der Stichprobe signifikant von der in der Population unterscheidet.
  • wir schauen in der Tabelle der \(z\)-Verteilung für \(z_{97,5\%}\) nach:
  • \(z_{97.5\%} = \underline{\underline{\pm 1.96}}\)
• jetzt vergleichen wir die Prüfgröße mit dem kritischen Wert: \[z_{krit} = \pm 1.96 > |-1.001|\]
• der Betrag der Prüfgröße ist kleiner als der kritische Wert \(\Rightarrow\) die Nullhypothese, dass die Stichprobenkorrelation mit der Populationskorrelation übereinstimmt, wird beibehalten
• dabei können wir den \(\boldsymbol{\beta}\)-Fehler begehen, d.h. die Nullhypothese zu Unrecht beibehalten

\(H_0\): \(\boldsymbol{\rho = 0.50}\)
\(H_1\): \(\boldsymbol{\rho \neq 0.50}\)
Prüfgröße: \(\boldsymbol{-1.001}\)
kritischer Wert: \(\boldsymbol{z_{97.5\%} = \pm 1.96}\)
Testentscheidung: Die \(H_0\) wird beibehalten.
möglicher Fehler nach erfolgter Testentscheidung: \(\boldsymbol{\beta}\)-Fehler

• den Test für zwei voneinander unabhängige Stichproben durchführen
• Korrelationen Z-transformieren
• Prüfgröße berechnen \[z = \frac{Z_1-Z_2}{\sqrt{\frac{1}{n_1-3} + \frac{1}{n_2-3}}}\]
• den kritischen Wert in der Tabelle der \(z\)-Verteilung nachschauen
• die Prüfgröße mit dem kritischen Wert vergleichen und Testentscheidung treffen

• Die Fragestellung hier lautet: wir wollen testen, ob sich zwei Korrelationen, die für zwei voneinander unabhängige Stichproben mit den Umfangen \(n_1\) und \(n_2\) ermittelt wurden, signifikant unterscheiden.
• \(H_0: \rho_1 = \rho_2\)
• \(H_1: \rho_1 \neq \rho_2\) (ungerichtet)
• Prüfgröße berechnen:
  • Wir vergleichen zwei Korrelationen miteinander, deswegen brauchen wir die Fischer \(Z\)-Transformation der beiden Korrelationen \[Z_1 = \frac{1}{2}\cdot\ln{\frac{1+0.30}{1-0.30}} \approx 0.310\] \[Z_2 = \frac{1}{2}\cdot\ln{\frac{1+0.55}{1-0.55}} \approx 0.618\]
  • dann kann die Prüfgröße selbst berechnet werden: \[z = \frac{Z_1-Z_2}{\sqrt{\frac{1}{n_1-3} + \frac{1}{n_2-3}}} = \frac{0.310-0.618}{\sqrt{\frac{1}{50-3} + \frac{1}{60-3}}} \approx \underline{\underline{-1.563}}\]
• den kritischen Wert bestimmen:
  • wir testen zweiseitig: wir wollen feststellen, ob sich die Korrelation in der Stichprobe signifikant von der in der Population unterscheidet.
  • wir schauen in der Tabelle der \(z\)-Verteilung für \(z_{97.5\%}\) nach:
  • \(z_{97.5\%} = \underline{\underline{\pm 1.96}}\)
• jetzt vergleichen wir die Prüfgröße mit dem kritischen Wert: \[z_{krit} = \pm 1.96 > |-1.563|\]
• der Betrag der Prüfgröße ist kleiner als der kritische Wert \(\Rightarrow\) die Nullhypothese, dass die Stichprobenkorrelation mit der Populationskorrelation übereinstimmt, wird beibehalten
• dabei können wir den \(\boldsymbol{\beta}\)-Fehler begehen, d.h. die Nullhypothese zu Unrecht beibehalten

\(H_0\): \(\boldsymbol{\rho_1 = \rho_2}\)
\(H_1\): \(\boldsymbol{\rho_1 \neq \rho_2}\)
Prüfgröße: \(\boldsymbol{-1.563}\)
kritischer Wert: \(\boldsymbol{z_{97.5\%} = \pm 1.96}\)
Testentscheidung: Die \(H_0\) wird beibehalten.
möglicher Fehler nach erfolgter Testentscheidung: \(\boldsymbol{\beta}\)-Fehler