Die Wartezeit kann zwischen 0 (der Bus kommt sofort) und 20 Minuten (der Bus ist gerade abgefahren und Martin muss 20 min warten) liegen. Dabei kann der Bus jeden Moment kommen, sodass die möglichen Ergebnisse der Zufallsvariable nicht nur jede von den 20 Minuten sind, sondern auch alle Zeitausprägungen dazwischen. Wir können also theoretisch beliebig genau den Zeitpunkt herausfinden, zu dem der Bus kommen wird. Damit können wir die Zufallsvariable folgendermaßen bestimmen:
\[X = [0 , 20) ; x \in R\]

• Dabei fangen wir mit \([0\) an, da der Bus sofort kommen kann und die Wartezeit von 0 damit in die Zufallsvariable inkludiert ist.
• Wir schreiben \(20)\) mit einer runden Klammer und inkludieren die Wartezeit von 20 Minuten nicht, da der Bus aller 20 Minuten kommen soll, d.h. spätestens nach 20 Minuten sollte er schon angekommen sein.
• Damit sind aber die Wartezeiten von z.B. \(19,\overline{999}\) Minuten in der Zufallsvariable enthalten.

Diese Zufallsvariable ist stetig, da die Anzahl an möglichen Ausgängen des Zufallsexperiments (alle möglichen Wartezeiten) überabzählbar ist. Wir können die Wartezeiten beliebig genau bestimmen.

Die Zufallsvariable “Wartezeit” ist gleichverteilt. Da bedeutet z.B., dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Martin von 0 bis 5 Minuten wartet, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass er zwischen 15 und 20 Minuten warten muss.
Die Wartezeit von maximal 5 Minuten beträgt \(\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\) der möglichen Länge der Wartezeit (maximal kann man 20 Minuten warten). Anders gesagt ist die Wartezeit von 5 Minuten das 25%-Perzentil, unter dem 25% der Wartezeiten liegen. Damit können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:
\[P(x_{Martin}\leq 5) = \frac{1}{4}= .25\] Die Wahrscheinlichkeit, dass Martin nur maximal 5 Minuten warten muss, beträgt 25%.

Hier wird nach der Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Ausprägung der Zufallsvariable gefragt. Da dies aber eine stetige Zufallsvariable ist, geht die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Ausprägung (dass der Bus exakt zu einem bestimmten Zeitpunkt kommt) gegen 0. Es ist unglaublich unwahrscheinlich, dass der Bus genau 0,000 Sekunden nach Martins Ankunft kommt und nicht beispielsweise 0,0001 Sekunden später.

Allgemein: Die schraffierten Flächen in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten, maximal bzw. mindestens den Wert \(z\) in dem schraffierten Bereich zu haben. Diese Wahrscheinlichkeiten bestimmen wir mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, deren Tabelle uns zur Verfügung steht.

Wir suchen hier die Wahrscheinlichkeit, höchstens den Wert \(z\) aus der Verteilung zu ziehen. Diese Wahrscheinlichkeit \(P(z \leq 1.20)\) können wir, wie folgt, bestimmen:

• wir schauen den \(z\)-Wert 1.20 in der Tabelle der Normalverteilung nach. Dafür finden wir in der ersten Spalte (“\(z\)-Wert”) die ersten zwei Zahlen in dem z-Wert (also, 1,2) und suchen dann die Zeile, die die dritte Zahl hat (also, 0). Der Wert, bei dem sich die Zeile und die Spalte kreuzen, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
• Mathematisch korrekt schreiben wir das so auf:
  \(P(z \leq 1.20)=F(1.20)=.8849\).
  Beachte: die Schreibweise F(1.20) bezieht sich auf die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und zeigt, dass wir in der Tabelle der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit nachschauen, höchstens einen bestimmten \(z\)-Wert zu haben.
  

Die Wahrscheinlichkeit, höchstens den Wert \(z=1.20\) aus der Verteilung zu ziehen, beträgt 88.5%.

Beachte: Wir können im Fall von stetigen Zufallsvariablen entweder \(P(z \leq 1.20)\) oder \(P(z < 1.20)\) schreiben, da die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Ausprägung gegen 0 geht.

Die hier dargestellte Fläche ist komplementär zu der Fläche 1 oben. Sie entspricht der Wahrscheinlichkeit, mindestens den Wert \(z=1.20\) aus der Verteilung zu ziehen.

• Wir bestimmen die Größe dieser Fläche, indem wir die Größe der ersten Fläche von der Gesamtfläche subtrahieren. Die Größe der Gesamtfläche beträgt 1, da die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisraums \(P(\Omega)=1\) ist.
  
• Mathematisch korrekt schreiben wir dies, wie folgt, auf:
  \(P(z\geq 1.20)=1-F(1.20)=1-.8849=.1151\)
  

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens den Wert \(z=1.20\) aus der Verteilung zu ziehen, beträgt 11.5%.

Die Fläche entspricht der Wahrscheinlichkeit mindestens den Wert \(-z\) aus der Verteilung zu ziehen.

• Wir können diese Fläche, wie folgt, bestimmen:
  \(P(z\geq -1.20)= 1-F(-1.20)\)
• Jetzt brauchen wir den Wert für \(F(-1.20)\). Das würde der Größe der kleinen weißen Fläche entsprechen, die links von der gesuchten Fläche ist.
• Die \(z\)-Verteilung ist symmetrisch um 0. Deswegen würde diese kleine Fläche links von dem Wert \(z=-1.20\) der gesuchten Fläche von Grafik 2 entsprechen (die Fläche rechts von dem Wert \(z=1.20\)).
• Die Größe dieser Fläche aus Grafik 2 hatten wir berechnet, indem wir \(F(1.20)\) von 1 abgezogen haben (s.o.). Nach derselben Logik können wir also auf für Grafik 3 die kleine weiße Fläche unterhalb \(z=-1.20\) berechnen:
  \(P(z\leq -1.20)= F(-1.20)=1-F(1.20)=1-.8849=.1151\)
  
• Wir können also die gesuchte Fläche so bestimmen:
  \(P(z\geq -1.20)= 1-F(-1.20)= 1-(1-F(1.20))= F(1.20)=.8849\)
• Das ist auch intuitiv, da die \(z\)-Verteilung symmetrisch um 0 ist. Somit ist die Fläche von \(P(z < 1.2)\) aus Grafik 1 gleich groß wie die Fläche von \(P(z > -1.2)\) aus Grafik 3.
• Wir können also in solchen Fällen immer gleich aufschreiben:
  \(P(z\geq -1.20)= F(1.20)=.8849\)

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens den Wert \(z=-1.20\) aus der Verteilung zu ziehen, beträgt 88.5%.

Diese Fläche haben wir schon indirekt bestimmt. Sie entspricht der Wahrscheinlichkeit, höchstens den Wert \(-z\) aus der Verteilung zu ziehen.

• Die \(z\)-Verteilung ist symmetrisch um 0. Deswegen entspricht die gesuchte Fläche der Fläche 2 (die Fläche rechts von dem Wert \(z=1.20\)). Die Größe dieser Fläche bestimmen wir folgendermaßen:
  \(P(z\leq -1.20)= F(-1.20)=1-F(1.20)=1-.8849=.1151\)
  

Die Wahrscheinlichkeit, höchstens den Wert \(z=-1.20\) aus der Verteilung zu ziehen, beträgt 11.5%.

Diese zwei Flächen beschreiben die Wahrscheinlichkeit, dass man einen Wert an den Rändern der Verteilung zieht: entweder höchstens den Wert \(-z\) oder mindestens den Wert \(z\).

• Wir haben bereits die beiden Flächen bestimmt (das sind die Flächen 2 und 4). Sie haben gleiche Größe.
• Die gesuchte Fläche bestimmen wir folgendermaßen:
  \(P(z\leq-1.20\) oder \(z\geq 1.20)= 2\cdot F(-1.20) = 2\cdot .1151=.2302\)

Als erstes veranschaulichen wir mit einer Skizze, um welche Wahrscheinlichkeiten und Flächen unter der Dichtefunktion der z-Verteilung es hier geht. Wir schauen uns die besten 2.5% der Verteilung (die blau gefärbte Fläche rechts) und suchen den IQ-Wert, der diese 2.5% der Verteilung eingrenzt.

Diesem gesuchten IQ-Wert entspricht in der dargestellten Standardnormalverteilung der \(z\)-Wert \(z_{97.5\%}\), der die oberen 2.5% nach oben abgrenzt.

• Wir können mit Hilfe der Tabelle der Normalverteilung den \(z\)-Wert bestimmen, der die unteren 97.5% der Verteilung abschneidet.
• Dafür müssen wir in der Tabelle nach dem Wert suchen, der am nächsten zu dem Wert \(F(z_{97.5\%})=.9750\) ist. In der Tabelle gibt es tatsächlich genau diesen Wert.
• Dadurch bestimmen wir den zugehörigen \(z\)-Wert, wenn wir die Spalte und die Zeile bestimmen, welche sich bei dem Wert .9750 kreuzen:
  \[z_{97.5\%}=1.96\]

Jetzt müssen wir den IQ-Wert bestimmen, der diesem \(z\)-Wert entspricht.

• Wir benutzen dafür die Formel für die \(z\)-Standardisierung:
  

\[z_{97.5\%}=\frac{x_{97.5\%}-\mu}{\sigma}\]

• Um den IQ-Wert zu bestimmen, müssen wir diese Formel nach \(x_{97.5\%}\) umstellen:
  \(z_{97.5\%}=\frac{x_{97.5\%}-\mu}{\sigma}\)
  \(z_{97.5\%}\cdot \sigma=x_{97.5\%}-\mu\)
  \(\underline{\underline{\mu+z_{97.5\%}\cdot \sigma=x_{97.5\%}}}\)
  

• Jetzt setzen wir die Werte in die umgestellte Formel ein:
  \(\begin{aligned} x_{97.5\%} &= \mu+z_{97.5\%}\cdot \sigma\\ &= 100+1.96\cdot 10 = 119.6 \end{aligned}\)
  

Eine zufällig ausgewählte Person müsste mindestens den IQ-Wert von 120 aufweisen, um zu den besten 2,5% zu gehören.
Beachte: Die Antwort muss sinnvoll gerundet sein. Z.B. IQ-Werte gibt es nur als ganze Zahlen, also sollte man als Antwort den IQ-Wert von 120 angeben (und nicht 119.6). Auch 119 anzugeben wäre falsch, da dieser Wert unterhalb des Wertes 119.6 liegt und damit nicht zu den besten 2.5% gehört.

Wir skizzieren am Anfang eine \(z\)-Verteilung und markieren die Fläche, die den “besten” 95% der Verteilung entspricht (und damit die schlechtesten 5% der Verteilung nicht umfasst).

Dem gesuchten IQ-Wert entspricht in der \(z\)-Verteilung der Wert \(z_{5\%}\).

• Der Tabelle der Standardnormalverteilung können wir den Wert \(z_{95\%}\) entnehmen, welcher symmetrisch zu dem gesuchten \(z\)-Wert ist. Unsere Tabelle führt erst \(z\)-Werte ab 50% auf. Da \(z_{5\%} = – z_{95\%}\) ist, können wir den Wert trotzdem ermitteln.

• Dafür sollen wir den Wert in der Tabelle suchen, der am nächsten zu dem Wert \(F(z_{95\%})=.9500\) ist. In der Tabelle gibt es zwei Werte, die gleich entfernt von der gesuchten Wahrscheinlichkeit von 95% sind: \(F(1.64)=.9495\) und \(F(1.65)=.9505\).

• Die \(z\)-Werte, die die schlechtesten 5% abschneiden, sind in dem Fall -1.64 und -1.65

• Jetzt müssen wir uns für einen dieser \(z\)-Werte (also, -1.64 oder -1.65) entscheiden.

• Dabei können wir uns daran orientieren, ob wir konservativ oder liberal vorgehen wollen.
  

  • Konservativ heißt, dass wir es z.B. für die Menschen schwerer machen wollen, nicht mehr zu den schlechtesten 5% zu gehören. Wenn wir also restriktiv vorgehen wollen, sollten wir den Wert \(z=-1.64\) wählen, da dieser eine größere Fläche auf der linken Seite abschneiden würde und damit die besseren 95% stärker einschränken würde.
    
  • Liberal heißt, dass wir es z.B. für die Menschen leichter machen wollen, nicht mehr zu den schlechtesten 5% zu gehören. Wenn wir so vorgehen wollen, sollten wir den Wert \(z=-1.65\) wählen, da dieser eine kleinere Fläche auf der linken Seite abschneiden würde und damit die besseren 95% mehr Personen umfassen würden.
    

Beachte: Konservativ und liberal kann von Kontext zu Kontext Unterschiedliches bedeuten. Dies müssen wir jedes Mal neu bestimmen und in Abhängigkeit davon uns für einen Wert entscheiden.

• Im Kontext von IQ-Messung könnte eine konservative Entscheidung sinnvoll sein, z.B. wenn wir in einem Auswahlverfahren Bewerber mit geringem IQ-Wert strikt aussortieren wollen und es somit „schwerer“ machen, nicht zu den schlechtesten 5% zu gehören.
  
• Wir entscheiden uns jetzt für den konservativen Wert von \(z=-1.64\).

Jetzt können wir die Werte, die uns gegeben sind, in die umgestellte Formel der \(z\)-Standardisierung aus der Aufgabe a) einsetzen:
\(\begin{aligned} x_{5\%} &= \mu+z_{5\%}\cdot \sigma\\ &= 100-1.64\cdot 10 = 83.6 \end{aligned}\)

Eine zufällig ausgewählte Person müsste mindestens den IQ-Wert von 84 aufweisen, um nicht zu den schlechtesten 5% zu gehören.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, wollen wir hier die blaue Fläche in der Mitte bestimmen.

Als erstes sollten wir die IQ-Werte standardisieren mit Hilfe der Formel der \(z\)-Standardisierung:
\(z_o= \frac{x_o-\mu}{\sigma}= \frac{120-100}{10}=2.00\)
\(z_u= \frac{x_u-\mu}{\sigma}= \frac{80-100}{10}=-2.00\)

Wir bestimmen als nächstes die Fläche unter der Dichtefunktion:

• in der Tabelle schauen wir die Wahrscheinlichkeit für \(z=2.00\) nach: \(F(2.00)=.9772\). Dies entspricht der Fläche, die bei 0 anfängt und bis zu dem Wert \(z=2.00\) geht.
• dementsprechend ist \(F(-2.00)=1-.9772=.0228\) die Größe der Fläche, die bei 0 anfängt und bis zum Wert \(z=-2.00\) geht.
• Um die gesuchte Fläche zwischen den beiden \(z\)-Werten zu finden, müssen wir die beiden Flächen voneinander subtrahieren:
  \(P(80<x<120)=P(-2.00<z<2.00)= F(2.00)-F(-2.00)=.9772-.0228=.9544\)
  

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ-Wert zwischen 80 und 120 hat, beträgt ca. 95.4%.

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, die als blaue Fläche in der folgenden Skizze dargestellt ist. Das ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens den Wert 78 in der Methoden I -Klausur zu erzielen.

Wir standardisieren den Punktewert, den Sina in der Klausur erzielt hat:
\(z= \frac{x-\mu}{\sigma}= \frac{78-60}{8}=2.25\)
Wir schauen in der Tabelle der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit nach, höchstens den Wert \(z=2.25\) zu erzielen:
\(P(x<78)= F(2.25)=.9878\)

Wir suchen hier die Wahrscheinlichkeit, die als blaue Fläche in der folgenden Skizze dargestellt ist. Das ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens den Wert 35 in der Bio-Klausur zu erzielen.

Wir standardisieren den Punktewert, den Sina in der Klausur erzielt hat:
\(z= \frac{x-\mu}{\sigma}= \frac{35-40}{5}=-1.00\)
Wir schauen in der Tabelle der Standardnormalverteilung für \(z=-1.00\) nach:
\(F(-1.00)= 1-F(1.00)= 1-.8413= .1587\)
Jetzt bestimmen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
\(P(x>35)= 1- F(-1.00) =1-.1587=.8413\)

Wir suchen hier die Wahrscheinlichkeit, die als blaue Fläche in der folgenden Skizze dargestellt ist. Das ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens den Wert 35 und höchstens den Wert 43 in der Bio-Klausur zu erzielen.

Wir standardisieren die Punktewerte von Johann und Sina:
\(z_{Sina}= \frac{x_{Sina}-\mu}{\sigma}= \frac{35-40}{5}=-1.00\)
\(z_{Johann}= \frac{x_{Johann}-\mu}{\sigma}= \frac{43-40}{5}=0.60\)
Wir schauen in der Tabelle der Standardnormalverteilung für \(z=-1.00\) und \(z=0.60\) nach:
\(F(-1.00)= 1-F(1.00)= 1-.8413= .1587\)
\(F(0.60)= .7257\)
Jetzt bestimmen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
\(P(35<x<43)= F(0.60)- F(-1.00)= .7257-.1587=.5670\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Psychologiestudent besser als Sina aber gleichzeitig schlechter als Johann abschneidet, beträgt 56.7%.

Diese Skizze veranschaulicht die in der Aufgabenstellung gegebenen Informationen:

Uns ist die obere Grenze des Bereichs gegeben, welcher die mittleren 95% der Verteilung umfasst. An den Rändern der Verteilung bleiben jeweils 2.5%, die außerhalb dieses Bereichs liegen. Das bedeutet, dass unterhalb des gegebenen Werts \(x_o=129.4\) 97.5% der Verteilung liegen.
Damit können wir den zugehörigen \(z\)-Wert bestimmen. Wir suchen in der Tabelle der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit \(F(z_{97.5\%})= .9750\) und finden auf diese Weise den \(z\)-Wert: \(z=1.96\).
Jetzt können wir den Erwartungswert \(\mu\) in der Population bestimmen.

• Wir müssen dafür zuerst die Formel der \(z\)-Standardisierung nach \(\mu\) umstellen:
  \(z= \frac{x-\mu}{\sigma}\)
  \(z\cdot \sigma= x-\mu\)
  \(\underline{\underline{\mu= x-z\cdot \sigma}}\)
  
• Jetzt setzen wir die Werte in diese Formel ein:
  \(\mu= x-z_{97.5\%}\cdot \sigma= 129.4-1.96\cdot 15= 100\)
  

Wir suchen hier die Wahrscheinlichkeit, die durch die blau gefärbte Fläche abgebildet ist.

Zuerst standardisieren wir den \(x\)-Wert:
\(z= \frac{x-\mu}{\sigma}= \frac{115-100}{15}= 1.00\)

Dann bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit, höchstens den Wert \(z=1.00\) zu haben, mit Hilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung: \(F(1.00)= .8413\)
Danach können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:
\(P(x>115)= 1-F(1.00)= 1-.8413= .1587\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen \(x\)-Wert über 115 hat, beträgt 15.9%.

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, zu den besten 10% der Verteilung zu gehören.

Wir suchen zuerst den \(z\)-Wert, der die oberen 10% der Verteilung eingrenzt, d.h. unter dem sich 90% der Verteilung befinden.

• Wir schauen in der Tabelle für \(F(z_{90\%})=.9000\) nach und suchen nach dem zugehörigen \(z\)-Wert.
• Es gibt in der Tabelle keinen \(z\)-Wert, dem genau die Wahrscheinlichkeit von .9000. Es gibt \(F(1.28)=.8997\) und \(F(1.29)=.9015\). In diesem Fall wählen wir einfach den Wert, dessen Wahrscheinlichkeit am nächsten zu der vorgegebenen (90%) ist. Also, unser \(z\)-Wert ist 1.28.

Dann bestimmen wir den gesuchten \(x\)-Wert. Dafür stellen wir die Formel für die \(z\)-Standardisierung, wie in der Aufgabe 3a) bereits gezeigt.
\(x= \mu+z_{90\%}\cdot\sigma= 100+1.28\cdot 15= 119.2\)