□ Tabellen erstellen, um einen systematischen Überblick über die Daten zu erhalten.
□ Die Verteilung der Daten grafisch darstellen.
□ Kennwerte berechnen, um die zentrale Tendenz und Streuung der Daten zu quantifizieren.
\(\times\) Parameter schätzen, um die Daten auf Populationsebene einzuordnen.
\(\quad \rightarrow\) Parameterschätzung zählt zur Inferenzstatistik. Immer dann, wenn wir von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit verallgemeinern wollen, benötigen wir inferenzstatistische Methoden.

\(\checkmark\) Die SKV ist eine theoretische Verteilung.
\(\quad \rightarrow\) Auf die Stichprobenkennwerteverteilung kommen wir durch ein Gedankenexperiment. Wenn wir unendlich viele Stichproben aus einer Population ziehen würden (als Zufallsexperiment), und für jede dieser Stichproben je einen bestimmten Kennwert (z.B. Mittelwert) berechneten, dann würden diese Stichprobenkennwerte eine Verteilung bilden. Diese Verteilung ist die SKV.
In Wirklichkeit kann man natürlich nicht unendlich viele Stichproben ziehen. Deswegen handelt es sich um eine theoretische Verteilung. Wir nutzen sie lediglich, um die Unsicherheit zu bemessen, mit der wir Aussagen auf Basis von einer oder wenigen Stichproben über die Grundgesamtheit treffen.

\(\checkmark\) Die SKV gibt die Verteilung eines Kennwerts bei bestimmter Stichprobengröße an.
\(\quad \rightarrow\) Richtig. Für jede beliebige Stichprobengröße gibt es eine SKV. Das liegt daran, dass eine geringere Stichprobengröße eine größere Unsicherheit der Schätzung bedeutet. Der Erwartungswert der Verteilung ändert sich zwar nicht durch die Stichprobengröße. Allerdings fließt das n in die Berechnung der Varianz bzw. des Standardfehlers der Verteilung ein. Durch diese unterschiedlich große Streuung unterscheiden sich SKVs verschiedener Stichprobengröße.

\(\times\) Es existiert für jede Populationsverteilung genau eine SKV.
\(\quad \rightarrow\) Falsch. Wir können sehr viele unterschiedliche Parameter schätzen, jeweils mit Hilfe unterschiedlicher Stichprobenkennwerteverteilungen. Zudem existieren für verschiedene Stichprobengrößen unterschiedliche SKVs (s.o.).

\(\checkmark\) Für Mittelwert, Standardabweichung, b-gewichte usw. können SKVs gebildet werden. \(\quad \rightarrow\) Richtig. Für jeden Kennwert, der für Stichproben berechnet werden kann, können wir SKVs bilden und dadurch inferenzstatistische Schlüsse ziehen. Die SKVs haben z.T. lediglich unterschiedliche Eigenschaften je nach Kennwert.

\(\times\) Bei normaler Populationsverteilung ist die SKV auch normal.
\(\quad \rightarrow\) Für die Stichprobenmittelwerteverteilung, das prominenteste Beispiel, ist dieser Zusammenhang korrekt. Jedoch gilt dies nicht für alle schätzbaren Parameter (z.B. die Varianz).
\(\checkmark\) Mit steigender Stichprobengröße nähert sich die SKV einer Normalverteilung.
\(\quad \rightarrow\) Korrekt. Grund dafür ist der zentrale Grenzwertsatz. Dabei wird das Ziehen von Stichproben mit den zugehörigen Kennwerten aus der Population als Zufallsexperiment betrachtet und die einzelnen Kennwerte als Realisierung von Zufallsvariablen. Unabhängige Ziehungen von Stichproben(kennwerten) aus derselben Population mit einer nicht übermächtigen Verteilung des Merkmals folgen dem zentralen Grenzwertsatz.
Demnach ist die Verteilung dieser Kennwerte eine Normalverteilung, wenn die Stichprobe »groß« ist. Wie groß die Stichprobe sein muss, hängt davon ab, wie stark die Verteilung des Merkmals in der Population von einer Normalverteilung abweicht. Dies gilt für alle SKVs - bei ausreichender Stichprobengröße.

\(\times\) Eine normale SKV weist auf eine normale Populationsverteilung hin.
\(\quad \rightarrow\) Falsch. Nach dem zentralen Grenzwertsatz nähern sich alle SKVs mit zunehmender Stichprobengröße einer Normalverteilung an, unabhängig von der Verteilung in der Population. Deshalb können wir von einer normalverteilten SKV nicht auf die Populationsverteilung schließen, zumindest nicht ohne zusätzliche Information über die Stichprobengröße.

\(\checkmark\) Die SKV-M gibt die Verteilung des Mittels bei bestimmter Stichprobengröße an.
\(\quad \rightarrow\) Korrekt. Durch den Standardfehler bestimmt die Stichprobengröße die Verteilung der SKVs-M mit (s.o.).

\(\times\) Es existiert für jede Populationsverteilung genau eine SKV-M.
\(\quad \rightarrow\) Falsch. Es existieren für jede Populationsverteilung so viele SKVs-M, wie Stichproben unterschiedlicher Größen daraus gezogen werden können (potenziell unendlich viele).

\(\checkmark\) Bei normaler Populationsverteilung ist die SKV-M auch normal.
\(\quad \rightarrow\) Korrekt. Dies gilt unabhängig von der Stichprobengröße.

\(\checkmark\) Mit steigender Stichprobengröße nähert sich die SKV-M einer Normalverteilung an.
\(\quad \rightarrow\) Richtig. Dies gilt unabhängig von der Verteilung der Rohwerte in der Population.

\(\checkmark\) Der Erwartungswert der SKV-M entspricht dem Populationsmittel.
\(\quad \rightarrow\) Korrekt. Der Mittelwert ist ein erwartungstreuer Schätzer des Populationsmittels. Das bedeutet, dass Stichprobenmittelwerte den Erwartungswert (Mittelwert als Parameter in der Population \(\mu\)) nicht systematisch über- oder unterschätzen.

\(\times\) Die Varianz der SKV-M entspricht der Populationsvarianz.
\(\quad \rightarrow\) Falsch. Dies gilt nur für den Spezialfall n = 1. Die Varianz der SKV-M \(\sigma_{\bar{x}}^2\) ist der quadrierte Standardfehler, der sich als \(\sigma_{\bar{x}}^2 =\) \(\frac{\sigma^2}{n}\) ergibt. Darin enthalten ist nicht nur die Populationsvarianz \(\sigma^2\), sondern auch die Stichprobengröße, um die Unsicherheit der Schätzung zu quantifizieren. Je größer unsere Stichprobe ist, desto mehr »wissen« wir über die Population. Somit verbessert sich unsere Schätzung: Sie wird sicherer, da wir mit geringerer Wahrscheinlichkeit viele extreme Merkmalsträger in unserer Stichprobe haben und somit die Verhältnisse in der Population verschätzen.

\(\checkmark\) Nimmt man eine viermal so große Stichprobe, halbiert sich der Standardfehler.
\(\quad \rightarrow\) Korrekt. Um diesen Zusammenhang zu erkennen, müssen wir den Satz nur als Gleichung darstellen und umformen:
\(\begin{aligned} \frac{1}{2}\cdot \sigma_{\bar{x}} &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{4 \cdot n}}\\ &= \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{\sigma^2}{n}}\\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\\ &= \frac{1}{2} \cdot \sigma_{\bar{x}}\\ \end{aligned}\)

\(\times\) Eine normale SKV-M weist auf eine normale Populationsverteilung hin.
\(\quad \rightarrow\) Falsch. Wenn die Stichprobe »groß« ist, ist die zugehörige SKV-M nach dem zentralen Grenzwertsatz (s.o.) unabhängig von der Populationsverteilung normalverteilt.

\(\checkmark\) Die SKV-V gibt die Verteilung der Varianz bei bestimmter Stichprobengröße an.
\(\quad \rightarrow\) Richtig. (Hier ist die Stichprobenvarianz \(s^2\) (als Kennwert) für eine gegebene Population, nicht die Populationsvarianz \(\sigma^2\) gemeint.)

\(\times\) Bei normaler Populationsverteilung ist die SKV-V auch normal.
\(\quad \rightarrow\) Im allgemeinen Fall ist diese Aussage falsch. Die SKV-V entspricht bei beliebiger Stichprobengröße einer \(\boldsymbol{\chi^2}\)-Verteilung mit dem Erwartungswert \(\mu_{s^2} = n\) und der Varianz \(\sigma^2_{s^2} = 2n\). Diese nähert sich erst mit steigender Stichprobengröße (\(\rightarrow \infty\)) einer Normalverteilung an.

\(\checkmark\) Mit steigender Stichprobengröße nähert sich die SKV-V einer Normalverteilung an.
\(\quad \rightarrow\) Korrekt. Mit steigender Stichprobengröße entspricht die SKV-V mit \(\sigma^2 \sim \chi^2(n)\) einer Normalverteilung mit \(\sigma^2 \sim N(\sigma^2,(\sigma^2 \cdot \sqrt{\frac{2}{n-1}})\).

\(\checkmark\) Der Erwartungswert der SKV-V entspricht der Populationsvarianz.
\(\quad \rightarrow\) Korrekt. \(\mu_{s^2} = \sigma^2\).

\(\checkmark\) Die SKV-V entspricht bei normalverteilter Population einer \(\chi^2\)-Verteilung.
\(\quad \rightarrow\) Korrekt. \(s^2 \sim \chi^2(n)\)

\(\times\) Nimmt man eine viermal so große Stichprobe, halbiert sich der Standardfehler.
\(\quad \rightarrow\) Falsch. Dieser Zusammenhang gilt für die Stichprobenmittelwerteverteilung, aber nicht für die SKV-V.

\(\times\) Eine normale SKV-V weist auf eine normale Populationsverteilung hin.
\(\quad \rightarrow\) Falsch. Die SKV-V ist \(\chi^2\)-verteilt. Mit steigender Stichprobengröße nähert sie sich einer Normalverteilung - unabhängig von der Verteilung in der Population.

• Wir gehen von der Formel für die z-Transformation aus. Wir möchten nämlich einen Wert (Mittelwert) ermitteln, der einen bestimmten Prozentsatz (P = 2,5%) einer Normalverteilung (IQ-Verteilung) mit bekannter Streuung nach oben abschneidet.
  \(z =\) \(\frac{x - \mu}{\sigma}\)
• Für unsere Aufgabe müssen wir aber die passenden Größen in die Formel einsetzen:
  • Die Verteilung, auf die wir uns beziehen, ist die Stichprobenmittelwerteverteilung der IQ-Mittelwerte für Stichproben der Größe N = 25.
  • Das \(x\) ist in unserem Fall ein Stichprobenmittelwert zu einem bestimmten Perzentil der Stichprobenmittelwerteverteilung \(\bar{x}_{p}\).
  • Genauer gesagt, ist es der IQ-Mittelwert einer (zufällig gewählten) Stichprobe mit N = 25, die einen besseren Mittelwert als 97,5% aller möglichen Stichproben derselben Größe aufweist.
  • Das \(\mu\) ist der Erwartungswert der Population und gleich dem Erwartungswert der Stichprobenmittelwerteverteilung \(\mu_{\bar{x}}\).
  • \(\sigma\) ist die Streuung der Stichprobenmittelwerteverteilung, also der Standardfehler \(\sigma_{\bar{x}}\).
  • Der z-Wert, den wir suchen, ist der z-Wert zu diesem Perzentil.
• Somit können wir unsere Formel für die z-Transformation folgendermaßen anpassen:
  \(z_{p} =\) \(\frac{\bar{x}_{p} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}\)
  
• Folgende Größen sind uns gegeben:
  • \(\mu = \mu_{\bar{x}} = 100\)
  • \(\sigma^2 = 100\)
  • \(n = 25\)
• Daraus können wir den Standardfehler im Nenner der Gleichung berechnen:
  \(\sigma_{\bar{x}} =\) \(\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} = \sqrt{\frac{100}{25}} = \frac{10}{5}\) \(= 2\)
  
• Auch den z-Wert können wir ermitteln: \(z_{p} = z_{97.5\%}\)
  • Wir suchen den IQ-Wert, der 2.5% der Verteilung nach oben abschneidet.
  • In der z-Tabelle können wir nur die Werte nachschauen, die einen Anteil der Verteilung nach unten abschneiden. Der gesuchte IQ-Wert schneidet 2.5% der Verteilung nach oben und somit 97.5% nach unten ab.
  • Wir schlagen in der Tabelle nach:
    
    
    • Wir finden den Prozentsatz 97.5% bei »0,9750«.
    • Bis zur ersten Nachkommastelle finden wir den zugehörigen z-Wert, wenn wir von da nach links in die erste Spalte schauen: »1,9«
    • Die zweite Nachkommastelle erhalten wir, indem wir vom Prozentwert nach oben in die erste Zeile sehen: »0,06«
  • Somit ist \(z_{p} = z_{97.5\%} = 1.96\)
• Diese Werte setzen wir in die Formel oben ein und erhalten:
  
  \(\begin{aligned} 1.96 &=\frac{\bar{x}_{p} - 100}{2} \quad | \cdot 2\\[1,2ex] 1.96 \cdot 2 &= \bar{x}_{p} - 100 \quad | + 100\\ \bar{x}_{p} &= \underline{\underline{103.92}}\\ \end{aligned}\)
  
  \(\rightarrow\) Eine zufällig ausgewählte Stichprobe derselben Größe müsste mindestens einen IQ-Wert von 103.92 aufweisen, um zu den oberen 2,5% der Mittel zu gehören.

• Wir gehen wiederum von der Formel für die z-Transformation aus.
  • Wir möchten einen Mittelwert ermitteln, der p = 5% einer Normalverteilung (IQ-Verteilung) mit bekannter Streuung nach unten abschneidet.
  • Alle Überlegungen aus Aufgabe (a) treffen auch hier zu.
  • Wir gehen also wieder von folgender Formel aus:
    \(z_{p} =\) \(\frac{\bar{x}_{p} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}\)
    
• Folgende Werte sind gegeben:
  • \(\mu = \mu_{\bar{x}} = 100\)
  • \(\sigma = \sqrt{100} = 10\)
  • \(n = 25\)
• Wir schlagen den z-Wert in der Tabelle nach:
  • In der Tabelle sind nur Prozentwerte über 50% angegeben. Da die z-Verteilung symmetrisch um 0 ist, schauen wir bei 95% nach. Der gesuchte z-Wert ist die entgegengesetzte Zahl.
    
    
    
  • Der exakte Wert von 95% ist nicht tabelliert.
    • Die beiden nächstgelegenen Alternativen haben einen gleich weiten Abstand zu 95%.
    • Standardmäßig wollen wir eher konservativ runden. In unserer Aufgabenstellung heißt, es welchen IQ-Wert eine Stichprobe mindestens aufweisen müsste, um nicht zu den unteren 5% zu gehören. Im Zweifelsfall soll es also eher 5.5% als 4.5% sein.
    • Deshalb wählen wir 1 - 5.5% = 94.95% und lesen den z-Wert zu »0,9495« ab: \(z_{94.95\%}=1.64 \rightarrow z_{5\%} \approx -1.64\)
      
      
• Diese Werte setzen wir in die Formel ein und erhalten:
  
  \(\begin{aligned} z_{p} &= \frac{\bar{x}_{p} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}\\[1,2ex] z_{p} &= \frac{\bar{x}_{p} - \mu_{\bar{x}}}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}\\[1,2ex] -1.64 &=\frac{\bar{x}_{p} - 100}{\sqrt{\frac{100}{25}}}\\[1,2ex] -1.64 &=\frac{\bar{x}_{p} - 100}{\frac{10}{5}}\\[1,2ex] -1.64 &=\frac{\bar{x}_{p} - 100}{2} \quad | \cdot 2\\[1,2ex] -1.64 \cdot 2 &= \bar{x}_{p} - 100 \quad | + 100\\ \bar{x}_{p} &= \underline{\underline{96.72}}\\ \end{aligned}\)
  
  \(\rightarrow\) Eine zufällig ausgewählte Stichprobe derselben Größe müsste mindestens einen IQ-Wert von 96.72 aufweisen, um nicht zu den unteren 5% der Mittel zu gehören.

• Wir gehen wiederum von der Formel für die z-Transformation aus.
  • Denn wir möchten die Wahrscheinlichkeit P ermitteln, dass eine Stichprobe einen Wert (Mittelwert) in einem festgelegten Intervall einer Normalverteilung (IQ-Verteilung) mit bekannter Streuung aufweist.
  • Über die z-Transformation können wir den Intervallgrenzen Wahrscheinlichkeiten zuordnen.
  • Die Überlegungen zur Verteilung aus (a) treffen auch hier zu.
  • Wir verwenden also wieder folgende Formel:
    \(z_{p} =\) \(\frac{\bar{x}_{p} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}\)
    
• Folgende Werte sind gegeben bzw. haben wir in den vorangegangenen Aufgaben berechnet:
  • \(\mu = \mu_{\bar{x}} = 100\)
  • \(\sigma_{\bar{x}} =\) \(\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\) \(= \sqrt{\frac{100}{25}} = 2\)
  • obere Intervallgrenze \(\bar{x}_o = 120\)
  • untere Intervallgrenze \(\bar{x}_u = 80\)
• Zunächst berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten, dass der IQ-Wert einer zufällig gezogenen Stichprobe niedriger als 80 bzw. 120 ist. Daraus bilden wir eine Differenz, um auf die Wahrscheinlichkeit zu kommen, dass ein ein Stichprobenmittelwert in das Intervall [80;120] fällt.
• Die Wahrscheinlichkeiten erhalten wir durch die z-Werte:
  \(\begin{aligned} z_{o} &= \frac{\bar{x}_{o} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}\\[1,2ex] &= \frac{120 - 100}{2}\\[1,2ex] &= \frac{20}{2}\\[1,2ex] &= 10\\[1,2ex] z_{u} &= \frac{\bar{x}_{u} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}\\[1,2ex] &= \frac{80 - 100}{2}\\[1,2ex] &= -\frac{20}{2}\\[1,2ex] &= -10\\[1,2ex] \end{aligned}\)
  \(\rightarrow\) z-Werte > |10| finden wir nicht in der Tabelle. Der größte z-Wert, den wir noch in der Tabelle finden, liegt bei \(z = \pm 3.09\) und entspricht dem 99.9%-Perzentil. Ein z-Wert von |10| ist mehr als doppelt so groß, d.h. dieser und extremere Werte sind noch viel unwahrscheinlicher. Man spricht davon, dass die Wahrscheinlichkeit für einen solchen oder einen noch extremeren Wert »gegen 0« geht: \(F(10) \approx 1\) und \(F(-10) \approx 0\)
  \(\rightarrow\) \(F(10) - F(-10) \approx 1\)
  \(\rightarrow\) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Stichprobe der Größe 25 einen IQ-Mittelwert zwischen 80 und 120 aufweist, liegt beinahe bei 100%.

• Ausgangspunkt ist die Formel für die z-Transformation.
  • Auch hierbei ist unsere Normalverteilung die Stichprobenmittelwerteverteilung zu IQ-Werten von Stichproben der Größe N = 25.
    \(z_{p} =\) \(\frac{\bar{x}_{p} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}\)
    
• Der Erwartungswert \(\mu_{\bar{x}}\) der SKV-M ist weiterhin 100.
• Die Standardabweichung, an der wir normieren, ist der Standardfehler dieser SKV-M, also weiterhin \(\sigma_{\bar{x}} =\) \(\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} = \sqrt{\frac{100}{25}} = 2\)
• Lass Dich nicht von der Standardabweichung im Aufgabenszenario irritieren. Wir beziehen uns auf unser Gedankenexperiment: Hypothetisch könnten wir unendlich viele Stichproben aus der Population mit n = 25 ziehen und den IQ-Mittelwert berechnen. Unsere Aufgabe ist, herauszufinden, wie viel Prozent der Verteilung der IQ-Mittelwert \(\bar{x} = 106\) nach oben abschneidet.
  \(\begin{aligned} z_{p} &= \frac{\bar{x}_{p} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}\\[1,2ex] &= \frac{106 - 100}{2}\\[1,2ex] &= \frac{6}{2}\\[1,2ex] &= \underline{\underline{3}}\\ \end{aligned}\)
  \(\rightarrow\) Der z-Wert, der einem IQ-Mittelwert von 106 entspricht, ist 3.
  
• Wenn wir in der z-Tabelle den Wert von 3 nachschlagen, erhalten wir die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe mit N = 25 einen IQ-Mittelwert kleiner oder gleich 106 hat.