• Absolutskaliert: Es handelt sich bei der Variable um eine Häufigkeit. Die Einheit »Jahresringe« kann nicht in ein Alter in einer anderen Einheit überführt werden.
• Oder aber verhältnisskaliert: Es wären auch »begonnene« Jahresringe denkbar. Somit könnte man das Alter in Jahren (denn die Bäume altern ja nicht sprunghaft ein Mal pro Jahr und haben plötzlich einen Jahresring mehr) auch in anderen Einheiten angegeben werden. Zugleich kann ein Baum nicht weniger als 0 Jahresringe haben, da es kein negatives Alter gibt.

Es gibt keine richtigen Ausreißer, denn an beiden Enden der Verteilung in der Stichprobe gibt es extremer werdende Werte. Es liegen metrische Daten vor. Damit dürfen wir den Mittelwert berechnen:

\(\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\sum_{i=1}^nx_{i}}{n}\\[1,2ex] &= \frac{93 + 62 + 87 + 211 + 104 + 70 + 168 + 125 + 26 + 53 + 31 + 69 + 139}{13}\\[1,2ex] &= \underline{\underline{95.231}}\\ \end{aligned}\)

Varianz:
\(s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_{i}-\bar{x})^2}{n-1}\) Standardabweichung:
\(\begin{aligned} s &= \sqrt{s^2}\\ &= \sqrt{2898.359}\\ &= \underline{\underline{53.836}} \end{aligned}\)

• Wir wollen die praktische Signifikanz (d.h. den Wert, der das Entscheidungskriterium markiert,) berechnen. Der Wald soll zu den ältesten deutschen Buchenwäldern gehören, d.h. das Durchschnittsalter der Bäume unseres Waldes muss mindestens dem 75%-Perzentil der Stichprobenmittelwerteverteilung entsprechen.
• Dazu suchen wir das 75%-Perzentil der Stichprobenkennwerteverteilung des durchschnittlichen Alters deutscher Buchenwälder mit \(n = 13\) und dem Erwartungswert \(\mu = 88\) bei \(\sigma = 40\).
• Zunächst benötigen wir den Standardfehler:
  

\(\begin{aligned} \sigma_{\bar{x}} &= \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\[1,2ex] &= \frac{40}{\sqrt{13}}\\[1,2ex] &= 11.094 \end{aligned}\)
\(\quad \rightarrow X \sim N(88,11.094^2)\)

• Aus der z-Tabelle suchen wir \(z_{75\%} \approx .67\).
• Diesen z-Wert wandeln wir mit Hilfe der z-Transformation um in das dem 75%-Perzentil entsprechende Durchschnittsalter:

\(\begin{aligned} z &= \frac{\mu -\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\\[1,2ex] 0.67 &= \frac{\mu - 88}{11.094} \quad | \cdot 11.094\\[1,2ex] 7.433 &= \mu - 88 \quad | + 88\\ \mu &= \underline{\underline{95.433}} \end{aligned}\)

\(\quad \bar{x} = 95.231 < \mu = 95.433\)

\(\quad \rightarrow\) Der Wald kann nach dem Kriterium der Berater_innen nicht gerettet werden, da der betroffene Buchenwald nicht zu den 25% der ältesten Buchenwälder Deutschlands zählt.

• Den praktisch signifikanten Effekt (d.h. den Effekt, der für die Entscheidung relevant ist,) berechnen wir als die Differenz zwischen dem 75%-Perzentil der Stichprobenkennwerteverteilung µ des durchschnittlichen Alters deutscher Buchenwälder mit \(n = 13\) und dem allgemeinen Erwartungswert: \(|\mu - \mu_0| = |88 - 95.433| = 7.433\)
• Um die Effektstärke nach Cohen zu bestimmen, ist eine z-Standardisierung notwendig:
  \(\begin{aligned} \enspace \delta &= \frac{\mu - \mu_0}{\sigma}\\ \enspace &= \frac{7.433}{40}\\ \enspace &= \underline{\underline{0.186}} \end{aligned}\)
  

\(\quad \rightarrow\) Nach Cohen handelt es sich hierbei um einen kleinen Effekt.

A priori-Poweranalyse:

• ges.: n
• geg.: \(\delta = .186\), \(1 - \beta = .90\), \(\alpha = .05\)
  \(\quad n = (\frac{z_{1-\alpha} - z_{\beta}}{\delta})^2\)
  
• \(z_{1-\alpha} = z_{95\%} = 1.65\)
• \(z_{\beta} = z_{10\%} = -z_{90\%} = -1.28\)
  

\(\begin{aligned} \quad n &= (\frac{1.65 + 1.28}{.186})^2\\ \quad &= 248.147 \approx \underline{\underline{249}} \end{aligned}\)

\(\rightarrow\) Es würde eine Stichprobe von ca. 249 Bäumen benötigt werden, um einen solchen Effekt mit einer Teststärke von 90% bei \(\alpha\) = 5% zu finden.

• Da uns der Erwartungswert in der Population gegeben ist, aber nicht die Populationsvarianz, wenden wir einen Ein-Stichproben-t-Test an.
• Hypothesen:
  • \(H_0: \enspace \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \enspace \mu \neq \mu_0\)
• kritischer Wert:
  • für \(\alpha = .05\), \(df = n - 1 = 13 - 1 = 12\)
  • \(t_{krit} = t_{12,97.5\%} = 2.179 \enspace \rightarrow \enspace t_{12,2.5\%} = - 2.179\)
• empirische Prüfgröße:
  \(\begin{aligned} t_{emp} &= \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\\[1,2ex] &= \frac{95.231 - 79}{\frac{53.836}{\sqrt{13}}}\\[1,2ex] &= \underline{\underline{1.087}} \end{aligned}\)
  
• Testentscheidung:
  • Vergleich kritischer und empirischer Wert: \(|\pm 2.179| > 1.087 \enspace \rightarrow t_{krit} > t_{emp}\)
  • Die Nullhypothese wird beibehalten.
• Interpretation: Es gibt keine Evidenz dafür, dass das durchschnittliche Alter der Bäume des Buchenwaldes vom durchschnittlichen Alter von Buchen international abweicht.
  

• Die Berater_innen halten die Rettung für verhältnismäßig, wenn der Wald im durchschnittlichen Alter zu den oberen 25% von Wäldern gehört.
• Bezogen auf den Vergleich mit internationalen Wäldern suchen wir also das 75%-Perzentil aus der Stichprobenkennwerteverteilung mit \(\mu = 79\) und \(\sigma = 40\) bei \(n = 13\):
  

\(\begin{aligned} \enspace \sigma_{\bar{x}} &= \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\[1,2ex] \enspace &= \frac{40}{\sqrt{13}}\\[1,2ex] \enspace &= 11.094 \end{aligned}\)
\(\quad \rightarrow X \sim N(79,11.094^2)\)

• Aus der z-Tabelle suchen wir \(z_{75\%} \approx .67\) heraus.
• Diesen z-Wert wandeln wir mit Hilfe der Formel für z-Transformation um in die Einheit Jahresringe:

\(\begin{aligned} z &= \frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\\[1,2ex] 0.67 &= \frac{\bar{x} - 79}{11.094} \quad | \cdot 11.094\\[1,2ex] 7.433 &= \bar{x} - 79 \quad | + 79\\ \bar{x} &= \underline{\underline{86.433}} \end{aligned}\)

\(86.433 < 95.231 \enspace \rightarrow\) Der Wald könnte im internationalen Vergleich gerettet werden.

 
\(P(S|E) = .8\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Kind an Schizophrenie erkrankt, beträgt 80% - manchmal kann es auch einfach sein :)!

\(\rightarrow\) Bayes-Theorem:

\(\begin{aligned} P(V|W) &= \frac{P(W|V) \cdot P(V)}{P(W)}\\[1,2ex] &= \frac{0.3 \cdot 0.088}{0.5}\\[1,2ex] &= \underline{\underline{0.0528}}\\[1,2ex] \end{aligned}\)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 5.28% hat ein Wiederholungstäter_innen bereits eine Strafe verbüßt.

t-Test für abhängige Stichproben
Es liegen zwei abhängige Stichproben vor

• Messzeitpunkt \(t_1\): Woche ohne Software (\(\bar{x_1} = 130\))
• Messzeitpunkt \(t_2\): Woche mit Software (\(\bar{x_2} = 170\))

Es handelt sich hierbei um abhängige Stichproben, da dieselbe Einheit (Linas YouTube-Kanal) zu zwei unterschiedlichen Messzeitpunkten getestet wird. Der Ruf des Kanals und die Tatsache, dass ihr Publikum vermutlich (teilweise) aus denselben Leuten besteht, verhindern die Unabhängigkeit der Stichproben.

• aV: Durchschnittliche Aufrufe pro Tag
• uV: die beiden Bedingungen/ Messzeitpunkte:
  • \(t_1\): ohne Software
  • \(t_2\): mit Software

1. Bestimmung des kritischen Werts:
   Gegeben:

• \(\alpha\) = 0.01
• Rechtsseitige Testung (wenn \(H_1: \mu_{t_2} > \mu_{t_1}\))
• \(df = n – 1 = 7 – 1 = 6\)

\(t_{krit} = t_{0.99, df = 6} = \underline{3.143}\)

2. Berechnung der empirischen Prüfgröße:
   Gegeben:

• \(\bar{d} = 40\)
• \(s_d = 61.98\)
• \(n = 7\) Tage

Einsetzen in Formel:
\(\begin{aligned} t_{emp} &= \frac{\bar{d}} {\frac{s_d} {\sqrt{n}}} \\ &= \frac{40} {\frac{61.98} {\sqrt{7}}} \\ &= 1.707 \end{aligned}\)

3. Testentscheidung:

\(3.143 > 1.707 \rightarrow t_{krit} > t_{emp} \rightarrow\) Nullhypothese wird beibehalten.

Es liegt keine Evidenz dafür vor, dass die Verwendung der Video-Schnitt-Software die durchschnittliche Anzahl an Aufrufen pro Tag erhöht.

Die Formel zur Berechnung des standardisierten Effekts für paired t-Tests lautet:
\(\underline{\delta = \frac{\mu_d} {\sigma_d}}\)

Berechnung von \(\mu_d\):
Gesucht ist der Erwartungswert der Differenzen für den Fall, der mindestens auftreten müsste, um die Investition in die Software zu rechtfertigen. Aus dem Text entnehmen wir, dass dies der Fall ist, wenn die Software die Anzahl der durchschnittlichen Aufrufe pro Tag um mindestens 30% steigern würde. Ohne Software beläuft sich die diese Anzahl auf durchschnittlich \(\mu_1 = 130\).
Der Erwartungswert der Differenz, der gegeben sein müsste, um mindestens eine Steigerung von 30% zu erhalten berechnen wir wie folgt:

1. Benötigte durchschnittliche Anzahl an Aufrufen pro Tag mit Software \(\mu_2\):
   \(\mu_2 = \mu_1 \cdot 1.3 = 130 \cdot 1.3 = 169\)

2. Berechnung von \(\mu_d\):
   \(\mu_d = \mu_2 - \mu_1 = 169 – 130 = 39\)

Die Streuung der Differenzwerte in der Population \(\sigma_d\) schätzen wir (wie beim t-Test üblich) durch die Stichprobenstreuung von \(s_d = 61.98\).

Einsetzen in die Formel:
\(\begin{aligned} \delta &= \frac{\mu_d} {\sigma_d}\\ &= \frac{39} {61.98}\\ &= \underline{0.629} \end{aligned}\)

Der standardisierte Effekt müsste mindestens 0.629 betragen, damit sich die Investition in die Software lohnt.

Hierfür betrachten wir die erste Zeile “mA vs. mB for independent means” der Tabelle “Effektstärkemaße nach Cohen”: Die Effektstärke liegt mit 0.629 im Bereich zwischen einer mittleren und einer großen Effektgröße nach Cohen.

Lina müsste beide Versionen (Videos mit und ohne Software) jeweils mindestens \(\underline{43}\) Tage lang testen, um den gewünschten Effekt mit einer Power von 95% detektieren zu können.

\(\times\) Die Teststärke heißt auch Sensitivität, ist also die Wahrscheinlichkeit,
\(\enspace\) eine richtig-negative Testentscheidung zu treffen.
Falsch. Die Teststärke heißt zwar Sensitivität, ist aber die Wahrscheinlichkeit,
eine richtig-positive Testentscheidung zu treffen.

Anmerkung: Hierbei werden die Begriffe “negativ” bzw. “positiv” nicht inhaltlich wertend verwendet. “Positiv” bedeutet, dass die Nullhypothese verworfen wird - unabhängig davon, ob diese Entscheidung inhaltlich positiv ist. Zum Beispiel könnte die Alternativhypothese auch bedeuten, dass eine Therapie eine Symptomatik verschlechtert. “Negativ” bedeutet entsprechend, dass die Nullhypothese beibehalten wird.
Hier eine Übersicht:

• Wichtig zu beachten: In der untenstehenden Tabelle werden Wahrscheinlichkeiten und keine Häufigkeiten abgebildet. Sie beziehen sich immer auf die Testentscheidung gegeben der Populationsverteilung (links).

\(\times\) \(\beta\) ist das Gegenereignis zur Sensitivität.
Falsch. Sowohl \(\beta\) als auch die Sensitivität sind Wahrscheinlichkeiten und keine Ereignisse. Der \(\beta\)-Fehler bzw. die Nullhypothese beizubehalten, obwohl sie falsch ist, ist das Gegenereignis zur richtig-positiven Testentscheidung, also die Nullhypothese zu verwerfen, wenn sie tatsächlich falsch ist. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten \(\beta\) bzw. Sensitivität sind Gegenwahrscheinlichkeiten.

\(\checkmark\) \(1 - \alpha\) ist die Spezifität.
Korrekt. Sie bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese beizubehalten, wenn sie tatsächlich wahr ist.

\(\times\) Ein Hypothesentest, der eine hohe Spezifität hat, kann keine hohe Sensitivität haben.
Falsch. Die beiden Wahrscheinlichkeiten bzw. die zugehörigen Ereignisse sind zwar nicht unabhängig voneinander. Allerdings werden sie von weiteren Faktoren beeinflusst, z.B. der Stichprobengröße und der Effektstärke.

Ein Bananenfund beim Containern kann als Bernoulli-Experiment angesehen werden.

• Gesucht: \(P(X \geq 1)\)
• Gegeben:
  • \(n = 3\)
  • \(\pi = 0.25\), denn die Wahrscheinlichkeit, dass Mimi beim Container Bananen finden wird schätzen wir mit der Auskunft der Freunde
• Wir verwenden zur Lösung eine Binomialverteilung, da es sich um eine dichotome Zufallsvariable handelt. Statt alle Wahrscheinlichkeiten für \(P(X = 1)\), \(P(X = 2)\) und \(P(X = 3)\) zu addieren, können wir auch die Gegenwahrscheinlichkeit zum einzigen verbleibenden Fall, \(P(X = 0)\) ermitteln.

\(\begin{aligned} P(X \geq 1) &= 1 - P(X = 0)\\ &= 1 - (\binom{3}{0} \cdot .25^0 \cdot (1 - .25)^{3 - 0})\\ &= 1 - (1 \cdot .75^3)\\ &= \underline{\underline{0.5781}} \end{aligned}\)

\(\rightarrow\) Die Wahrscheinlichkeit, dass Mimi nicht auf Bananen verzichten muss bzw. mindestens einmal bei dreimaligem Containern Bananen erwischt, beträgt ca. 57.81%.

• t-Test für abhängige Stichproben, da es sich um Messwiederholungen handelt

• ungerichtete Hypothese

• Voraussetzungen für a priori Poweranalyse:

  • Power 80%
  • \(\alpha = 0.05\), zweiseitig
  • mittlerer Effekt: genauen Wert in der Tabelle der Effektstärken nachschauen.
    Mittelwertvergleich \(\rightarrow d=.50\)

• Stichprobengröße in der Tabelle nachschauen:

• Die Psychologin braucht 64 Beobachtungspaare, d.h. Sie müsste von 64 Schüler_innen die Noten vor und nach der Lehrplanänderung auswerten.

• t-Test für unabhängige Stichproben

• gerichtete Hypothese (rechtsseitig) \(\rightarrow\) weil der Experte die App als bereit für die Markteinführung bewerten will, wofür sie den bisherigen Apps überlegen sein sollte

• Voraussetzungen für die a priori Poweranalyse:

  • Power 80%
  • \(\alpha = 0.05\), einseitig
  • kleiner Effekt: genauen Wert in der Tabelle der Effektstärken nachschauen.
    Mittelwertvergleich \(\rightarrow \delta=.20\)

• Stichprobengröße in der Tabelle nachschauen. Das Alpha-Niveau muss bei einseitiger Testung verdoppelt werden, da die Tabellen für zweiseitige Testungen ausgelegt sind:

• Der Experte braucht 310 Proband_innen pro Gruppe (bzw. pro Stichprobe).